中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为4维列向量组，且满足 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{4}$ ， $\beta=\alpha_{1}+\alpha_{3}+3 \alpha_{4}$ ，则非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的通解为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析向量组线性关系
已知 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 线性无关，且 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_4$，因此向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的秩为3，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 是一个极大无关组。
提示：注意线性无关与线性表示的关系，$\alpha_3$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 唯一表示。
步骤 2/5
目标：表示 $\beta$ 用极大无关组
将 $\beta = \alpha_1 + \alpha_3 + 3\alpha_4$ 中的 $\alpha_3$ 代入：$\beta = \alpha_1 + (\alpha_1+\alpha_2-\alpha_4) + 3\alpha_4 = 2\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_4$。
公式：$\beta = 2\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_4$
提示：代入时注意系数合并，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：求非齐次方程组的一个特解
设 $A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，则 $AX = \beta$。由 $\beta = 2\alpha_1 + \alpha_2 + 0\cdot\alpha_3 + 2\alpha_4$，得一个特解 $x_0 = (2,1,0,2)^T$。
公式：$x_0 = \begin{pmatrix}2\\1\\0\\2\end{pmatrix}$
提示：特解中对应 $\alpha_3$ 的系数为0，因为 $\beta$ 表达式中不含 $\alpha_3$。
步骤 4/5
目标：求齐次方程组的基础解系
由 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_4$ 得 $\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 - \alpha_4 = 0$，即 $(1,1,-1,-1)^T$ 是齐次方程 $AX=0$ 的解。由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 线性无关，齐次方程解空间维数为 $4-3=1$，故基础解系为 $\xi = (1,1,-1,-1)^T$。
公式：$\xi = \begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$
提示：基础解系只含一个向量，注意解空间维数等于未知数个数减去系数矩阵秩。
步骤 5/5
目标：写出非齐次方程的通解
非齐次线性方程组 $AX=\beta$ 的通解为 $X = x_0 + k\xi$，其中 $k$ 为任意常数。即 $X = \begin{pmatrix}2\\1\\0\\2\end{pmatrix} + k\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$。
公式：$X = \begin{pmatrix}2\\1\\0\\2\end{pmatrix} + k\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$
提示：通解结构：特解加上齐次通解，注意 $k$ 是任意常数。
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