中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\displaystyle \alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵结构
已知 $\alpha \beta^T$ 是秩为1的矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $a_i b_j$。给定矩阵为 $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$。观察各行成比例：第一行比例 $1:-1:1$，第二行 $-1:1:-1$，第三行 $1:-1:1$，因此矩阵秩为1。
公式：$(\alpha \beta^T)_{ij} = a_i b_j$
提示：注意秩1矩阵的行列成比例，但比例因子可能不同行不同列。
步骤 2/5
目标：确定β的分量比例
由第一行：$a_1 b_1 = \frac{1}{2}$, $a_1 b_2 = -\frac{1}{2}$, $a_1 b_3 = \frac{1}{2}$。若 $a_1 \neq 0$，则 $b_1 : b_2 : b_3 = \frac{1}{2} : -\frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1 : -1 : 1$。因此可设 $\beta = c (1, -1, 1)^T$，其中 $c$ 为待定常数。
提示：注意 $a_1$ 可能为零，但若 $a_1=0$ 则第一行全零，与已知矛盾，故 $a_1 \neq 0$。
步骤 3/5
目标：确定α的分量比例
由第一列：$a_1 b_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 b_1 = -\frac{1}{3}$, $a_3 b_1 = \frac{1}{6}$。若 $b_1 \neq 0$，则 $a_1 : a_2 : a_3 = \frac{1}{2} : -\frac{1}{3} : \frac{1}{6} = 3 : -2 : 1$。因此可设 $\alpha = d (3, -2, 1)^T$，其中 $d$ 为待定常数。
提示：注意 $b_1$ 不为零，否则第一列全零，矛盾。
步骤 4/5
目标：求解常数乘积cd
代入 $a_1 b_1 = \frac{1}{2}$：$a_1 = 3d$, $b_1 = c$，得 $3d \cdot c = \frac{1}{2}$，即 $3cd = \frac{1}{2}$，所以 $cd = \frac{1}{6}$。
公式：$a_1 b_1 = \frac{1}{2}$
提示：注意不要混淆 $c$ 和 $d$ 的对应关系。
步骤 5/5
目标：计算β^T α
$\beta^T \alpha = c (1, -1, 1) \cdot d (3, -2, 1)^T = cd (1 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot 1) = \frac{1}{6} (3 + 2 + 1) = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1$。
公式：$\beta^T \alpha = \sum_{i=1}^3 b_i a_i$
提示：注意内积计算时符号和乘法顺序。
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