中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题

两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同，如果存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^T A P$。对于非对称矩阵，合同通常指对称化后的矩阵，但题目中 $A$ 是实可逆矩阵，未说明对称性。然而，在高等代数中，合同通常针对对称矩阵。但这里 $A$ 和 $-5A$ 可能不是对称的。不过，题目可能隐含 $A$ 是对称的？实际上，题目没有明确 $A$ 对称，但合同通常考虑对称矩阵。若 $A$ 不是对称的，则合同概念一般不适用。但根据常见题型，这里 $A$ 可能指实对称可逆矩阵？题目说“实可逆矩阵”，未提对称，但合同通常针对对称矩阵。我们需谨慎。

假设 $A$ 是实对称可逆矩阵（否则合同无意义）。则 $A$ 与 $-5A$ 是否合同？合同要求存在可逆 $P$ 使得 $-5A = P^T A P$。即 $-5A = P^T A P$。由于 $A$ 可逆，两边取行列式：$(-5)^5 \det(A) = \det(P)^2 \det(A)$，即 $-5^5 = \det(P)^2$。左边为负，右边非负，矛盾。因此不可能合同。

如果 $A$ 不是对称的，合同通常不定义。但若强行定义，则需存在可逆 $P$ 使得 $-5A = P^T A P$。同样取行列式得 $-5^5 \det(A) = \det(P)^2 \det(A)$，由于 $\det(A) \neq 0$，得 $-5^5 = \det(P)^2$，左边负，右边非负，不可能。因此无论 $A$ 是否对称，只要 $A$ 可逆，且合同定义要求 $P$ 可逆，则不可能。

所以 $A$ 与 $-5A$ 不可能合同。