中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $n$ 阶矩阵 $A=-E_{11}-2 E_{22}-3 E_{33}-\cdots-n E_{n n}$ ，则与 $A$ 可交换的矩阵所组成的线性空间的维数为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出矩阵A的具体形式
由题意，$A = -E_{11} - 2E_{22} - \cdots - nE_{nn}$，其中$E_{ii}$是第$i$个对角元为1、其余为0的矩阵。因此$A$是对角矩阵：$A = \operatorname{diag}(-1, -2, \dots, -n)$。
提示：注意$E_{ii}$的定义，不要混淆行和列。
步骤 2/5
目标：分析可交换矩阵的条件
设$B$是与$A$可交换的矩阵，即$AB = BA$。由于$A$是对角矩阵，设$B = (b_{ij})$，则$AB$的第$(i,j)$元素为$(-i) b_{ij}$，$BA$的第$(i,j)$元素为$b_{ij}(-j)$。因此$AB=BA$等价于对所有$i,j$有$(-i)b_{ij} = (-j)b_{ij}$，即$(j-i)b_{ij}=0$。
公式：$(j-i)b_{ij}=0$
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘$A$是乘行，右乘$A$是乘列。
步骤 3/5
目标：推导$b_{ij}$的条件
由$(j-i)b_{ij}=0$，当$i \neq j$时，$j-i \neq 0$，所以$b_{ij}=0$；当$i=j$时，$j-i=0$，等式自动成立，$b_{ii}$可以任意。因此$B$必须是对角矩阵。
提示：注意$i=j$时条件自动满足，不要误以为$b_{ii}$也必须为零。
步骤 4/5
目标：确定可交换矩阵的集合
所有与$A$可交换的矩阵$B$都是对角矩阵，即$B = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$，其中$d_i$为任意实数。因此该集合为$\{ \operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) \mid d_i \in \mathbb{R} \}$。
提示：注意这里$d_i$是自由变量，没有其他约束。
步骤 5/5
目标：计算线性空间的维数
上述集合构成一个线性空间，其一组基为$\{E_{11}, E_{22}, \dots, E_{nn}\}$，共有$n$个线性无关的矩阵。因此该线性空间的维数为$n$。
提示：基的选取要确保线性无关且能生成所有对角矩阵。
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