中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．定义线性变换 $\sigma\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}, x_{1}-x_{3}\right)$ ，则 $\sigma$ 的秩为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出线性变换的矩阵表示
线性变换 $\sigma(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + 3x_2 + x_3, x_2 + x_3, x_1 - x_3)$ 在标准基下的矩阵 $A$ 由系数矩阵给出：第一列对应 $x_1$ 的系数，第二列对应 $x_2$ 的系数，第三列对应 $x_3$ 的系数。因此 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：注意系数排列顺序：第 $i$ 行第 $j$ 列元素是第 $i$ 个分量中 $x_j$ 的系数。
步骤 2/5
目标：对矩阵进行初等行变换（第一步）
对 $A$ 进行初等行变换化为行阶梯形。首先，将第1行乘以-1加到第3行：$R_3 - R_1$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{pmatrix}$。
提示：初等行变换时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：对矩阵进行初等行变换（第二步）
将第2行乘以3加到第3行：$R_3 + 3R_2$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。此时矩阵为行阶梯形。
提示：注意 $R_3 + 3R_2$ 的含义：第3行加上第2行的3倍。
步骤 4/5
目标：确定矩阵的秩
行阶梯形矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 有3个非零行，因此矩阵的秩为3。
公式：秩 = 非零行数
提示：行阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
步骤 5/5
目标：得出线性变换的秩
线性变换 $\sigma$ 的秩等于其矩阵 $A$ 的秩，故 $\sigma$ 的秩为3。
公式：秩(σ) = 秩(A)
提示：线性变换的秩定义为像空间的维数，等于矩阵的秩。
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