中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $A$ 是一个秩为 3 的四阶矩阵，$A$ 的对角元的代数余子式分别为 $1,-2,3,-4$ ，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定矩阵A的行列式为零
因为A是4阶矩阵且秩为3，所以A不是满秩矩阵，故行列式$\det(A)=0$。
公式：若$\operatorname{rank}(A)
提示：注意秩为3意味着行列式为零，但反之不成立。
步骤 2/6
目标：利用伴随矩阵的基本性质
伴随矩阵满足$AA^* = \det(A)I$。由于$\det(A)=0$，有$AA^* = 0$，即$A^*$的每一列都是齐次线性方程组$Ax=0$的解。
公式：$AA^* = \det(A)I$
提示：不要混淆$A^*$与$A$的转置。
步骤 3/6
目标：分析齐次方程解空间的维数
因为$\operatorname{rank}(A)=3$，所以$\dim\ker(A)=4-3=1$，即$Ax=0$的解空间维数为1。因此$A^*$的列向量都位于这个一维空间中，故$\operatorname{rank}(A^*)\leq 1$。
公式：$\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)$
提示：解空间维数等于自由变量个数。
步骤 4/6
目标：确定伴随矩阵的秩为1
已知A的对角元代数余子式分别为1,-2,3,-4，不全为零，所以$A^*$不是零矩阵，故$\operatorname{rank}(A^*)=1$。
公式：若$A^*\neq 0$，则$\operatorname{rank}(A^*)\geq 1$
提示：代数余子式非零保证了$A^*$非零。
步骤 5/6
目标：利用特征值与迹的关系
秩为1的矩阵的非零特征值个数为1，且所有特征值之和等于迹$\operatorname{tr}(A^*)$。而$\operatorname{tr}(A^*)$等于A的对角元代数余子式之和，即$1+(-2)+3+(-4)=-2$。因此非零特征值为-2，其余三个特征值为0。
公式：$\operatorname{tr}(A^*)=\sum_{i=1}^n A_{ii}$，其中$A_{ii}$是代数余子式
提示：注意迹是特征值之和，但秩为1时只有一个非零特征值。
步骤 6/6
目标：总结特征值
所以$A^*$的特征值为$-2,0,0,0$。
提示：特征值顺序无关紧要。
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