中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．直线 $\left\{\begin{array}{l}6 x-2 y+3 z=9, \\ 3 x-3 y+z=6 .\end{array}\right.$ 求点 $(0,0,0)$ 到该直线的距离 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求直线的方向向量
直线由两个平面相交得到，其方向向量 $\mathbf{s}$ 垂直于两个平面的法向量。取法向量 $\mathbf{n}_1=(6,-2,3)$，$\mathbf{n}_2=(3,-3,1)$，计算叉积：
$$\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & -2 & 3 \\ 3 & -3 & 1 \end{vmatrix} = ( (-2)\cdot1 - 3\cdot(-3),\ 3\cdot3 - 6\cdot1,\ 6\cdot(-3) - (-2)\cdot3 ) = (7, 3, -12).$$
公式：$\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$
提示：叉积计算时注意符号，可先写出行列式再计算各分量。
步骤 2/7
目标：在直线上取一点
令 $z=0$，代入直线方程组：
$$\begin{cases}6x-2y=9\\3x-3y=6\end{cases}$$
解此方程组：由第二式得 $x-y=2$，即 $x=y+2$，代入第一式得 $6(y+2)-2y=9$，即 $6y+12-2y=9$，$4y=-3$，$y=-\frac{3}{4}$，则 $x=-\frac{3}{4}+2=\frac{5}{4}$。故直线上一点 $P\left(\frac{5}{4},-\frac{3}{4},0\right)$。
提示：取点时可令任意一个变量为常数，但需确保方程组有解。
步骤 3/7
目标：计算向量 $\overrightarrow{OP}$
点 $O(0,0,0)$ 到点 $P\left(\frac{5}{4},-\frac{3}{4},0\right)$ 的向量为：
$$\overrightarrow{OP} = \left(\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}, 0\right).$$
提示：注意坐标对应相减。
步骤 4/7
目标：计算 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\mathbf{s}$ 的叉积
计算叉积：
$$\overrightarrow{OP} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 0 \\ 7 & 3 & -12 \end{vmatrix} = \left( (-\frac{3}{4})\cdot(-12) - 0\cdot3,\ 0\cdot7 - \frac{5}{4}\cdot(-12),\ \frac{5}{4}\cdot3 - (-\frac{3}{4})\cdot7 \right) = (9, 15, \frac{15}{4}+\frac{21}{4}) = (9, 15, 9).$$
提示：叉积计算时注意分数运算，可先通分。
步骤 5/7
目标：计算叉积的模长
$$|\overrightarrow{OP} \times \mathbf{s}| = \sqrt{9^2+15^2+9^2} = \sqrt{81+225+81} = \sqrt{387} = 3\sqrt{43}.$$
公式：$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
提示：开方前检查是否可化简。
步骤 6/7
目标：计算方向向量的模长
$$|\mathbf{s}| = \sqrt{7^2+3^2+(-12)^2} = \sqrt{49+9+144} = \sqrt{202}.$$
提示：注意符号平方后为正。
步骤 7/7
目标：计算点到直线的距离
点到直线的距离公式：
$$d = \frac{|\overrightarrow{OP} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|} = \frac{3\sqrt{43}}{\sqrt{202}} = \sqrt{\frac{9\cdot43}{202}} = \sqrt{\frac{387}{202}}.$$
化简：分子分母同除以？387和202的最大公因数为1，故距离为 $\sqrt{\frac{387}{202}}$。
公式：$d = \frac{|\overrightarrow{OP} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}$
提示：距离公式中叉积取模，注意不要与点积混淆。
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