中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．在欧氏空间中，向量 $d_{1}=(1,1,1,-1), d_{2}=(2,0,-2,0)$ 张成的子空间为 $V$ ，求向量 $\beta=(1,-1,1,0)$在 $V$ 上的投影向量 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断向量组线性无关
给定向量 $d_1=(1,1,1,-1)$ 和 $d_2=(2,0,-2,0)$，由于 $d_2$ 不是 $d_1$ 的倍数，故它们线性无关，构成子空间 $V$ 的一组基。
提示：注意检查向量是否成比例，若成比例则需重新选择基。
步骤 2/7
目标：Gram-Schmidt正交化：取第一个正交向量
令 $e_1 = d_1 = (1,1,1,-1)$。计算其长度：$\|e_1\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{4}=2$。单位化得 $u_1 = \frac{e_1}{\|e_1\|} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$。
公式：单位化公式：$u = \frac{e}{\|e\|}$
提示：计算长度时注意平方和，不要遗漏负号平方。
步骤 3/7
目标：Gram-Schmidt正交化：求第二个正交向量
计算 $d_2$ 在 $u_1$ 上的投影系数：$\langle d_2, u_1 \rangle = 2\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot\frac{1}{2} + (-2)\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot(-\frac{1}{2}) = 1+0-1+0=0$。由于投影系数为0，$d_2$ 已与 $u_1$ 正交，故取 $e_2 = d_2 = (2,0,-2,0)$。单位化：$\|e_2\| = \sqrt{2^2+0^2+(-2)^2+0^2} = \sqrt{8}=2\sqrt{2}$，得 $u_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$。
公式：正交化公式：$e_2 = d_2 - \langle d_2, u_1 \rangle u_1$，此处投影系数为0。
提示：若投影系数不为0，需减去投影分量；注意内积计算顺序。
步骤 4/7
目标：得到标准正交基
子空间 $V$ 的一组标准正交基为 $u_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$，$u_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$。
提示：检查正交性：$\langle u_1, u_2 \rangle = 0$，且每个向量长度为1。
步骤 5/7
目标：计算投影向量公式
向量 $\beta = (1,-1,1,0)$ 在 $V$ 上的投影向量为 $\operatorname{proj}_V \beta = \langle \beta, u_1 \rangle u_1 + \langle \beta, u_2 \rangle u_2$。
公式：投影公式：$\operatorname{proj}_V \beta = \sum_{i=1}^k \langle \beta, u_i \rangle u_i$，其中 $\{u_i\}$ 是标准正交基。
提示：注意使用标准正交基，否则公式需调整。
步骤 6/7
目标：计算内积
计算 $\langle \beta, u_1 \rangle = 1\cdot\frac{1}{2} + (-1)\cdot\frac{1}{2} + 1\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$。
计算 $\langle \beta, u_2 \rangle = 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + (-1)\cdot0 + 1\cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + 0\cdot0 = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$。
公式：内积定义：$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$
提示：内积计算时注意对应分量相乘，符号不要错。
步骤 7/7
目标：得出投影向量
代入公式：$\operatorname{proj}_V \beta = \frac{1}{2} u_1 + 0 \cdot u_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right)$。
提示：最终结果是一个向量，注意每个分量化简。
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