中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=2, \\ 3 x-y+z=3 .\end{array}\right.$ 求该直线绕 $y$ 轴旋转所得旋转曲面的方程 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将直线方程化为参数式
给定方程组：
\[
\begin{cases}
2x + y - z = 2 \\
3x - y + z = 3
\end{cases}
\]
两式相加得：
\[
5x = 5 \Rightarrow x = 1
\]
代入第一个方程：
\[
2 + y - z = 2 \Rightarrow y = z
\]
令 $y = t$，则 $z = t$，得到参数方程：
\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = t \\
z = t
\end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}
\]
提示：注意消元时不要遗漏方程，确保参数化正确。
步骤 2/4
目标：确定旋转轴和距离关系
直线绕 $y$ 轴旋转。旋转曲面上任一点 $(X, Y, Z)$ 满足：到 $y$ 轴的距离等于直线上对应点到 $y$ 轴的距离。直线上点 $(1, t, t)$ 到 $y$ 轴的距离为 $\sqrt{1^2 + t^2}$。旋转曲面上点 $(X, Y, Z)$ 到 $y$ 轴的距离为 $\sqrt{X^2 + Z^2}$，且 $Y = t$。
公式：点到轴的距离公式：$d = \sqrt{x^2 + z^2}$（绕y轴）
提示：注意旋转时纵坐标不变，即 $Y = t$。
步骤 3/4
目标：建立旋转曲面方程
由距离相等得：
\[
\sqrt{X^2 + Z^2} = \sqrt{1^2 + Y^2}
\]
两边平方：
\[
X^2 + Z^2 = 1 + Y^2
\]
整理得：
\[
X^2 - Y^2 + Z^2 = 1
\]
公式：旋转曲面方程：$x^2 + z^2 = 1 + y^2$
提示：平方时注意两边非负，无需加绝对值。
步骤 4/4
目标：写出最终方程
习惯上用 $x, y, z$ 表示变量，故旋转曲面方程为：
\[
x^2 - y^2 + z^2 = 1
\]
提示：最终方程应化简为标准形式。
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