中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $|A|=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 17 & 16 & 19 & 11\end{array}\right|$ ，求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与行列式性质
题目要求计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$，其中 $A_{4j}$ 是行列式 $|A|$ 的第4行第j列元素的代数余子式。根据行列式的性质，将行列式第4行元素全部替换为1，得到新行列式，其按第4行展开即为所求的和。即：
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}.$$
公式：行列式按行展开定理：$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$
提示：注意代数余子式 $A_{ij}$ 包含符号 $(-1)^{i+j}$，但这里替换第4行后，展开式直接就是和，因为新第4行元素都是1。
步骤 2/6
目标：构造新行列式并进行行变换
构造新行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$。为简化计算，进行行变换：$R_2 - 2R_1$，$R_3 - R_1$，$R_4 - R_1$，得到：
$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & -7 \\ 0 & 3 & 0 & 18 \\ 0 & -1 & -1 & 5 \\ 0 & -1 & 0 & 8 \end{vmatrix}.$$
公式：行变换不改变行列式的值：$R_i \leftarrow R_i + kR_j$
提示：行变换时注意符号和系数，确保变换正确。
步骤 3/6
目标：按第一列展开
由于第一列除第一个元素外均为0，按第一列展开：
$$D = 1 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 18 \\ -1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & 8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 18 \\ -1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & 8 \end{vmatrix}.$$
公式：行列式按列展开：$|A| = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$
提示：注意代数余子式的符号 $(-1)^{i+j}$，这里 $i=1,j=1$ 为正。
步骤 4/6
目标：按第二列展开
观察3阶行列式 $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 18 \\ -1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & 8 \end{vmatrix}$，第二列只有中间元素非零（-1），按第二列展开：
$$\text{原式} = (-1) \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 3 & 18 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 18 \\ -1 & 8 \end{vmatrix}.$$
公式：行列式按列展开，注意符号 $(-1)^{i+j}$
提示：展开时，元素 $a_{22}=-1$，其代数余子式符号为 $(-1)^{2+2}=1$，所以整体为 $-1$ 乘以余子式。
步骤 5/6
目标：计算2阶行列式
计算2阶行列式：
$$\begin{vmatrix} 3 & 18 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} = 3 \cdot 8 - 18 \cdot (-1) = 24 + 18 = 42.$$
公式：2阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：注意符号：$18 \times (-1) = -18$，减去时变为 $+18$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，$D = -1 \times 42 = -42$。所以 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44} = -42$。
提示：检查计算过程，确保没有符号错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。