中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3\end{array}\right)$ ，求原矩阵 $A=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算伴随矩阵的行列式
计算 $A^*$ 的行列式：
$$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot(2\cdot3 - 1\cdot3) - 1\cdot(1\cdot3 - 1\cdot1) + 1\cdot(1\cdot3 - 2\cdot1) = 3 - 2 + 1 = 2.$$
公式：行列式计算公式
提示：注意代数余子式的符号，按第一行展开时符号为 $+,-,+$。
步骤 2/6
目标：利用公式 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 求 $|A|$
对于 $n$ 阶矩阵，有 $|A^*| = |A|^{n-1}$。这里 $n=3$，所以 $|A^*| = |A|^2 = 2$，解得 $|A| = \pm \sqrt{2}$。
公式：$|A^*| = |A|^{n-1}$
提示：注意 $|A|$ 可能有两个值，不要遗漏负号。
步骤 3/6
目标：求伴随矩阵的逆矩阵
由 $AA^* = |A|E$ 得 $A = |A| (A^*)^{-1}$。先求 $(A^*)^{-1}$，利用公式 $(A^*)^{-1} = \frac{1}{|A^*|} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$，其中 $A_{ij}$ 是 $A^*$ 的代数余子式。
公式：$(A^*)^{-1} = \frac{1}{|A^*|} (\text{adj}(A^*))^T$
提示：注意伴随矩阵的逆是转置后的代数余子式矩阵除以行列式。
步骤 4/6
目标：计算代数余子式
计算 $A^*$ 的各代数余子式：
$A_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 3$，
$A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 0$，
$A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1$，
$A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 0$，
$A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2$，
$A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -2$，
$A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1$，
$A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$，
$A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1$。
公式：代数余子式定义
提示：注意代数余子式带符号 $(-1)^{i+j}$，不要忘记负号。
步骤 5/6
目标：构造伴随矩阵的逆矩阵
将代数余子式按转置位置放入矩阵，并除以 $|A^*|=2$：
$$(A^*)^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$$
提示：注意代数余子式矩阵需要转置，即第 $i$ 行第 $j$ 列放置 $A_{ji}$。
步骤 6/6
目标：求原矩阵 $A$
由 $A = |A| (A^*)^{-1}$，代入 $|A| = \pm \sqrt{2}$ 得：
$$A = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：$A = |A| (A^*)^{-1}$
提示：注意 $|A|$ 有两个可能值，因此 $A$ 有两个解，不要遗漏。
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