中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确基和待求多项式
给定基 $\alpha_1=2$, $\alpha_2=1+x$, $\alpha_3=-x+2x^2$, $\alpha_4=x+x^3$，待求多项式 $f(x)=1+x+x^2+x^3$。设坐标 $(k_1,k_2,k_3,k_4)$ 满足 $f=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4$。
提示：注意基向量是多项式，坐标是系数。
步骤 2/7
目标：展开线性组合
将线性组合展开：$f = 2k_1 + k_2(1+x) + k_3(-x+2x^2) + k_4(x+x^3) = (2k_1 + k_2) + (k_2 - k_3 + k_4)x + (2k_3)x^2 + (k_4)x^3$。
提示：合并同类项时注意 $x$ 的幂次，不要遗漏项。
步骤 3/7
目标：比较系数建立方程组
与 $f=1+x+x^2+x^3$ 比较系数得方程组：
\[
\begin{cases}
2k_1 + k_2 = 1, \\
k_2 - k_3 + k_4 = 1, \\
2k_3 = 1, \\
k_4 = 1.
\end{cases}
\]
提示：常数项对应 $x^0$ 系数，注意 $x^3$ 系数只有 $k_4$。
步骤 4/7
目标：解方程组求 $k_3$ 和 $k_4$
由第三式 $2k_3=1$ 得 $k_3=\frac{1}{2}$；由第四式 $k_4=1$。
提示：直接解出，注意分数形式。
步骤 5/7
目标：代入求 $k_2$
将 $k_3=\frac{1}{2}$, $k_4=1$ 代入第二式：$k_2 - \frac{1}{2} + 1 = 1$，解得 $k_2 = \frac{1}{2}$。
提示：移项时注意符号，$k_2 = 1 + \frac{1}{2} - 1$。
步骤 6/7
目标：代入求 $k_1$
将 $k_2=\frac{1}{2}$ 代入第一式：$2k_1 + \frac{1}{2} = 1$，解得 $k_1 = \frac{1}{4}$。
提示：注意 $2k_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，所以 $k_1=\frac{1}{4}$。
步骤 7/7
目标：写出坐标
因此坐标为 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$。
提示：坐标顺序与基的顺序一致。
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