中国科学技术大学 2026年高等代数第0题

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7 \end{pmatrix}$。计算特征多项式 $\det(\lambda I - A)$： $$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-13 & -16 & -16 \\ 5 & \lambda+7 & 6 \\ 6 & 8 & \lambda+7 \end{vmatrix}.$$ 按第一行展开： $$(\lambda-13)[(\lambda+7)^2-48] + 16[5(\lambda+7)-36] -16[40-6(\lambda+7)]$$ $$= (\lambda-13)(\lambda^2+14\lambda+1) + 16(5\lambda-1) -16(-6\lambda-2)$$ $$= (\lambda-13)(\lambda^2+14\lambda+1) + 80\lambda-16 + 96\lambda+32$$ $$= (\lambda-13)(\lambda^2+14\lambda+1) + 176\lambda+16$$ $$= \lambda^3+14\lambda^2+\lambda -13\lambda^2-182\lambda-13 + 176\lambda+16$$ $$= \lambda^3 + \lambda^2 -5\lambda +3.$$ 因式分解得 $(\lambda-1)^2(\lambda+3)$，特征值为 $\lambda_1=1$（二重），$\lambda_2=-3$（单根）。

对于 $\lambda=1$，计算 $A-I$： $$A-I = \begin{pmatrix} 12 & 16 & 16 \\ -5 & -8 & -6 \\ -6 & -8 & -8 \end{pmatrix}.$$ 化为行阶梯形： $$\begin{pmatrix} 12 & 16 & 16 \\ -5 & -8 & -6 \\ -6 & -8 & -8 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2+\frac{5}{12}R_1} \begin{pmatrix} 12 & 16 & 16 \\ 0 & -\frac{8}{3} & -\frac{2}{3} \\ -6 & -8 & -8 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3+\frac{1}{2}R_1} \begin{pmatrix} 12 & 16 & 16 \\ 0 & -\frac{8}{3} & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 秩为2，几何重数 $=3-2=1$，故 $\lambda=1$ 对应一个2阶若尔当块。

对于 $\lambda=-3$，计算 $A+3I$： $$A+3I = \begin{pmatrix} 16 & 16 & 16 \\ -5 & -4 & -6 \\ -6 & -8 & -4 \end{pmatrix}.$$ 第一行除以16得 $\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$，易见秩为2（例如第二行与第一行不成比例），几何重数 $=3-2=1$，故 $\lambda=-3$ 对应一个1阶若尔当块。

由以上分析，$\lambda=1$ 为二重根且几何重数为1，对应一个2阶若尔当块 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$；$\lambda=-3$ 为单根，对应1阶若尔当块 $(-3)$。因此若尔当标准型为： $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.$$