中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $M=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，线性变换 $\mathscr{A}$ 满足 $\mathscr{A} x=M x$ ，求 $\mathscr{A}$ 的特征值及重数 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解线性变换与矩阵的关系
线性变换 $\mathscr{A}$ 定义为 $\mathscr{A} x = M x$，其中 $M = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$。在标准基下，线性变换的矩阵表示就是 $M$，因此 $\mathscr{A}$ 的特征值等于矩阵 $M$ 的特征值。
提示：注意线性变换在不同基下的矩阵不同，但特征值不变。这里直接使用标准基。
步骤 2/6
目标：写出特征多项式
特征多项式定义为 $\det(\lambda I - M)$，其中 $I$ 是二阶单位矩阵。计算：
$$\lambda I - M = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda-1 & 0 \\ -1 & \lambda+1\end{pmatrix}.$$
公式：特征多项式：$\det(\lambda I - M)$
提示：注意矩阵减法的顺序：$\lambda I - M$，不要写成 $M - \lambda I$，否则特征多项式符号可能出错。
步骤 3/6
目标：计算行列式
计算 $\det\begin{pmatrix}\lambda-1 & 0 \\ -1 & \lambda+1\end{pmatrix}$。由于是上三角矩阵（左下角元素非零，但实际上是下三角？检查：左下角为-1，右上角为0，所以是下三角矩阵），行列式等于对角线元素的乘积：
$$(\lambda-1)(\lambda+1) = \lambda^2 - 1.$$
公式：三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积
提示：注意矩阵不是严格上三角，但下三角矩阵的行列式同样是对角线乘积。
步骤 4/6
目标：求解特征值
令特征多项式等于零：$\lambda^2 - 1 = 0$，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$。因此特征值为 $\lambda_1 = 1$ 和 $\lambda_2 = -1$。
提示：解二次方程时注意正负号。
步骤 5/6
目标：确定特征值的重数
特征多项式 $\lambda^2 - 1$ 是一次因式 $(\lambda-1)$ 和 $(\lambda+1)$ 的乘积，每个因式都是一次，因此每个特征值的代数重数均为 $1$。
提示：代数重数是指特征值作为特征多项式根的重数，这里没有重根。
步骤 6/6
目标：总结答案
线性变换 $\mathscr{A}$ 的特征值为 $1$ 和 $-1$，每个特征值的重数均为 $1$。
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