中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2026 & 2 & -2 \\ 2 & 2029 & -4 \\ -2 & -4 & 2029\end{array}\right)$ ，记 $M=\left\{B \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A B=B A\right\}$（即所有与 $A$ 可交换的 3 阶实矩阵构成的集合），求 $\operatorname{dim} M=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵A分解为标量矩阵与秩1矩阵之和
观察到矩阵$A$可以写成$A = 2025I + B$，其中$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix}$。这样分解便于求特征值。
公式：A = 2025I + B
提示：注意2025是2026-1，2029-4等，要仔细核对数值。
步骤 2/7
目标：求矩阵B的特征值和特征向量
矩阵$B$的每一行成比例，秩为1，因此有一个非零特征值等于迹$\operatorname{tr}(B)=1+4+4=9$，其余两个特征值为0。对应的特征向量：对于特征值9，解$(B-9I)x=0$，得特征向量$(1,2,-2)^T$；对于特征值0，解$Bx=0$，即$x_1+2x_2-2x_3=0$，基础解系为$(-2,1,0)^T$和$(2,0,1)^T$。
公式：B的特征值：9,0,0
提示：秩1矩阵的非零特征值等于迹，且特征向量与行向量成比例。
步骤 3/7
目标：求矩阵A的特征值和特征向量
由$A=2025I+B$，$A$的特征值为$2025+9=2034$（单重）和$2025$（二重）。特征向量与$B$相同：对应2034的特征向量为$(1,2,-2)^T$；对应2025的特征向量为$(-2,1,0)^T$和$(2,0,1)^T$。
公式：A的特征值：2034, 2025, 2025
提示：注意特征值2025是二重根。
步骤 4/7
目标：判断A可对角化并写出对角化形式
由于$A$有3个线性无关的特征向量，故$A$可对角化。取可逆矩阵$P = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则$P^{-1}AP = \operatorname{diag}(2034, 2025, 2025)$。
公式：P^{-1}AP = \operatorname{diag}(2034,2025,2025)
提示：注意特征向量的顺序要与对角矩阵一致。
步骤 5/7
目标：将可交换条件转化为对角矩阵的可交换条件
设$B$与$A$可交换，即$AB=BA$。令$C = P^{-1}BP$，则$P^{-1}AP \cdot C = C \cdot P^{-1}AP$，即$D C = C D$，其中$D=\operatorname{diag}(2034,2025,2025)$。因此$B$与$A$可交换当且仅当$C$与$D$可交换。
公式：AB=BA \iff (P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = (P^{-1}BP)(P^{-1}AP)
提示：相似变换保持可交换性。
步骤 6/7
目标：求与对角矩阵D可交换的矩阵C的形式
设$C = (c_{ij})$，由$DC=CD$得：$\lambda_i c_{ij} = c_{ij} \lambda_j$。当$i \neq j$时，若$\lambda_i \neq \lambda_j$，则$c_{ij}=0$。这里$\lambda_1=2034$，$\lambda_2=\lambda_3=2025$，所以$c_{12}=c_{13}=c_{21}=c_{31}=0$，而$c_{22},c_{23},c_{32},c_{33}$任意，$c_{11}$任意。因此$C$形如$\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & d & e \end{pmatrix}$。
公式：DC=CD \Rightarrow \lambda_i c_{ij} = c_{ij} \lambda_j
提示：注意当特征值相等时，对应块内元素可以任意。
步骤 7/7
目标：计算与D可交换的矩阵空间的维数
$C$的自由参数个数：$c_{11}$（1个），$c_{22},c_{23},c_{32},c_{33}$（4个），共5个。因此与$D$可交换的矩阵空间维数为5。由于相似变换是一一对应，与$A$可交换的矩阵空间$M$的维数也是5。
公式：\dim M = 1^2 + 2^2 = 5
提示：一般地，若对角矩阵有$k$个不同的特征值，重数分别为$n_1,\dots,n_k$，则与它可交换的矩阵空间维数为$\sum n_i^2$。
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