中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1+a & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 2+a & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n & \cdots & n+a
\end{array}\right) .
$$
求 $\operatorname{det} A$ ，判断 $a$ 为何值时，$A X=0$ 有非零解，并求该非零解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵表示为秩1矩阵加标量矩阵
记 $\alpha = (1,2,\dots,n)^T$，$\beta = (1,1,\dots,1)^T$，则 $A = \alpha \beta^T + aI$，其中 $\alpha\beta^T$ 是秩1矩阵。
公式：$A = \alpha \beta^T + aI$
提示：注意 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是列向量，$\alpha\beta^T$ 是 $n\times n$ 矩阵。
步骤 2/7
目标：利用秩1矩阵的特征值计算行列式
秩1矩阵 $\alpha\beta^T$ 的特征值为 $\beta^T\alpha = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$（非零特征值）和 $0$（$n-1$ 重）。因此 $A = \alpha\beta^T + aI$ 的特征值为 $a + \frac{n(n+1)}{2}$ 和 $a$（$n-1$ 重）。行列式等于特征值的乘积：$\det A = a^{n-1}\left(a + \frac{n(n+1)}{2}\right)$。
公式：$\det(\alpha\beta^T + aI) = a^{n-1}(a + \beta^T\alpha)$
提示：注意特征值的重数：非零特征值只有一个，其余 $n-1$ 个为0。
步骤 3/7
目标：计算 $\beta^T\alpha$
$\beta^T\alpha = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$。
公式：$\beta^T\alpha = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：这是等差数列求和，注意不要算错。
步骤 4/7
目标：得到行列式表达式
代入得 $\det A = a^{n-1}\left(a + \frac{n(n+1)}{2}\right)$。
公式：$\det A = a^{n-1}\left(a + \frac{n(n+1)}{2}\right)$
提示：最终结果要化简。
步骤 5/7
目标：判断 $AX=0$ 有非零解的条件
齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解当且仅当 $\det A = 0$。由 $\det A = a^{n-1}\left(a + \frac{n(n+1)}{2}\right)=0$ 得 $a=0$ 或 $a = -\frac{n(n+1)}{2}$。
公式：$\det A = 0 \iff a=0$ 或 $a=-\frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意 $a=0$ 时 $a^{n-1}=0$，$a=-\frac{n(n+1)}{2}$ 时第二个因子为0。
步骤 6/7
目标：求 $a=0$ 时的非零解
当 $a=0$ 时，$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \cdots & n \end{pmatrix}$，秩为1。方程组等价于 $x_1+x_2+\cdots+x_n=0$。基础解系含 $n-1$ 个向量，例如 $\xi_1=(1,-1,0,\dots,0)^T$，$\xi_2=(1,0,-1,\dots,0)^T$，$\dots$，$\xi_{n-1}=(1,0,\dots,0,-1)^T$。
公式：$x_1+x_2+\cdots+x_n=0$
提示：注意每行成比例，只需一个方程。
步骤 7/7
目标：求 $a=-\frac{n(n+1)}{2}$ 时的非零解
当 $a=-\frac{n(n+1)}{2}$ 时，$A = \alpha\beta^T - \frac{n(n+1)}{2}I$。解 $AX=0$ 即 $\alpha\beta^T X = \frac{n(n+1)}{2} X$。设 $c=\beta^T X$，则 $\alpha c = \frac{n(n+1)}{2} X$，得 $X = \frac{2c}{n(n+1)}\alpha$。代入 $c=\beta^T X$ 恒成立。取 $c=1$ 得 $X = \frac{2}{n(n+1)}(1,2,\dots,n)^T$，或直接取 $X=(1,2,\dots,n)^T$（非零常数倍）。
公式：$X = (1,2,\dots,n)^T$ 是一个非零解
提示：注意验证解的正确性，且基础解系只含一个向量。
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