中国科学技术大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $A$ 为 $n$ 阶可逆复矩阵，记 $A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ ，其中 $A_{11}$ 为 $m \times(n-m)$ 型矩阵 $(1<m<n)$ ，若 $A_{21}$ 在 $A$ 中所有到代数余子式全为 0 ，证明：$n \leq 2 m$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并引入伴随矩阵
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆复矩阵，分块为 $A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，其中 $A_{11}$ 是 $m \times (n-m)$ 矩阵，$1 < m < n$。已知 $A_{21}$ 的所有元素在 $A$ 中的代数余子式全为 0，即对于任意 $i \in \{m+1,\dots,n\}$，$j \in \{1,\dots,m\}$，有 $A_{ij}=0$（$A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式）。考虑 $A$ 的伴随矩阵 $A^* = (A_{ij})$，则 $A^*$ 的左下角 $(n-m) \times m$ 子块全为零。
公式：A^* = (A_{ij})
提示：注意代数余子式的下标与矩阵元素下标的关系，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。
步骤 2/5
目标：利用可逆性得到逆矩阵的分块形式
由于 $A$ 可逆，$A^* = \det(A) A^{-1}$，且 $\det(A) \neq 0$，所以 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*$。因此 $A^{-1}$ 的左下角 $(n-m) \times m$ 子块也为零。将 $A^{-1}$ 分块为 $A^{-1} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，其中 $B_{11}$ 是 $m \times m$ 矩阵，$B_{22}$ 是 $(n-m) \times (n-m)$ 矩阵，则 $B_{21}=0$。
公式：A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*
提示：伴随矩阵与逆矩阵的关系仅当矩阵可逆时成立。
步骤 3/5
目标：利用矩阵乘法建立方程
由 $A A^{-1} = I_n$，代入分块矩阵得：
$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ 0 & I_{n-m} \end{pmatrix}.$$
计算乘积得到四个等式：
\begin{align}
A_{11} B_{11} &= I_m, \tag{1} \\
A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} &= 0, \tag{2} \\
A_{21} B_{11} &= 0, \tag{3} \\
A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} &= I_{n-m}. \tag{4}
\end{align}
公式：A A^{-1} = I
提示：分块矩阵乘法时注意子块维度匹配。
步骤 4/5
目标：由方程(3)和(1)推导秩的关系
由(3)得 $A_{21} B_{11} = 0$。根据秩不等式，$\operatorname{rank}(A_{21}) + \operatorname{rank}(B_{11}) \leq m$。由(1)知 $A_{11} B_{11} = I_m$，所以 $B_{11}$ 可逆（因为 $I_m$ 满秩），从而 $\operatorname{rank}(B_{11}) = m$。代入不等式得 $\operatorname{rank}(A_{21}) + m \leq m$，即 $\operatorname{rank}(A_{21}) \leq 0$，故 $\operatorname{rank}(A_{21}) = 0$，因此 $A_{21}=0$。
公式：\operatorname{rank}(XY) \leq \min\{\operatorname{rank}(X), \operatorname{rank}(Y)\}; \quad \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n
提示：这里使用了秩不等式 $\operatorname{rank}(A_{21}) + \operatorname{rank}(B_{11}) \leq m$，其依据是 $A_{21} B_{11}=0$ 且 $B_{11}$ 是 $m \times m$ 矩阵。
步骤 5/5
目标：得到矩阵的分块上三角形式并分析可逆性
由 $A_{21}=0$，$A$ 成为分块上三角矩阵：$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$。由于 $A$ 可逆，其对角块 $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 均可逆。注意 $A_{11}$ 是 $m \times (n-m)$ 矩阵，可逆要求其为方阵，故 $m = n-m$，即 $n=2m$。因此 $n \leq 2m$ 成立（实际上等号成立）。
公式：\det(A) = \det(A_{11}) \det(A_{22})
提示：分块三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，可逆性要求每个对角块可逆，从而必须为方阵。
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