中国科学技术大学 2026年高等代数第0题

已知 $A$ 是 $n \times n$ 对称整数矩阵，且对任意非零行向量 $z \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^n$（分量非负整数），有 $z A z^\mathrm{T} \ge 0$。需要证明对任意非零行向量 $z \in \mathbb{R}_{\ge 0}^n$（分量非负实数），也有 $z A z^\mathrm{T} \ge 0$。

取任意非零 $z = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}_{\ge 0}^n$。对每个 $i$，构造有理数序列 $\{r_{i,k}\}_{k=1}^\infty$ 满足 $r_{i,k} \ge 0$ 且 $\lim_{k \to \infty} r_{i,k} = x_i$。例如，取 $r_{i,k} = \frac{\lfloor k x_i \rfloor}{k}$，则 $r_{i,k}$ 是非负有理数。令 $z_k = (r_{1,k}, \dots, r_{n,k})$，则 $z_k$ 的分量为非负有理数，且 $\lim_{k \to \infty} z_k = z$。

由于 $z_k$ 的分量是有理数，设它们的分母的最小公倍数为 $d_k$，则存在非负整数向量 $w_k$ 使得 $z_k = \frac{1}{d_k} w_k$。因为 $z$ 非零，当 $k$ 充分大时 $z_k$ 非零，从而 $w_k$ 非零。

由已知条件，对非零非负整数向量 $w_k$，有 $w_k A w_k^\mathrm{T} \ge 0$。于是 $z_k A z_k^\mathrm{T} = \frac{1}{d_k^2} w_k A w_k^\mathrm{T} \ge 0$。

由于 $z_k \to z$，且二次型 $z A z^\mathrm{T}$ 是连续函数（因为 $A$ 是常数矩阵），所以 $z A z^\mathrm{T} = \lim_{k \to \infty} z_k A z_k^\mathrm{T} \ge 0$。因此，对任意非零非负实数向量 $z$，有 $z A z^\mathrm{T} \ge 0$。

需要判断是否存在非零行向量 $z$（分量非负整数）使得 $z A z^\mathrm{T} = 0$。题目条件只保证对所有非负整数向量有 $z A z^\mathrm{T} \ge 0$，并未排除等于0的情况。因此，存在这样的向量当且仅当 $A$ 是半正定且存在非零非负整数向量在 $A$ 的零空间中。例如，取 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则对任意非负整数向量 $z=(a,b)$，有 $z A z^\mathrm{T} = b^2 \ge 0$，且取 $z=(1,0)$ 得 $0$。因此存在这样的向量。