北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
1．如果实矩阼 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将矩阵A分解为单位阵和幂零矩阵的和
观察到矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 可以写成 $A = I + B$，其中 $I$ 是单位矩阵，$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：A = I + B
提示：注意B是严格上三角矩阵，其幂次会逐渐变为零矩阵。
步骤 2/5
目标：计算B的幂次
计算 $B^2$：$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。再计算 $B^3$：$B^3 = B^2 B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。因此 $B^3 = 0$，且对于 $k \geq 3$，$B^k = 0$。
公式：B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, B^3 = 0
提示：严格上三角矩阵的幂次每乘一次，非零元素向右上角移动，直到变为零矩阵。
步骤 3/5
目标：应用二项式定理展开A^n
由于 $A = I + B$ 且 $I$ 与 $B$ 可交换，可以使用二项式定理：$A^n = (I + B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} I^{n-k} B^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B^k$。因为 $B^3 = 0$，所以当 $k \geq 3$ 时项为零，只需保留 $k=0,1,2$ 的项：$A^n = \binom{n}{0} B^0 + \binom{n}{1} B^1 + \binom{n}{2} B^2 = I + nB + \frac{n(n-1)}{2} B^2$。
公式：(I+B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B^k
提示：注意二项式定理要求矩阵可交换，这里I与任何矩阵可交换，所以成立。
步骤 4/5
目标：代入B和B^2的表达式
将 $I$、$B$ 和 $B^2$ 代入：$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。于是 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{n(n-1)}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵加法是对应元素相加。
步骤 5/5
目标：合并矩阵得到最终结果
将三个矩阵相加：第一行第一列：$1 + 0 + 0 = 1$；第一行第二列：$0 + n \cdot (-1) + 0 = -n$；第一行第三列：$0 + 0 + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 1 = \frac{n(n-1)}{2}$；第二行第一列：$0 + 0 + 0 = 0$；第二行第二列：$1 + 0 + 0 = 1$；第二行第三列：$0 + n \cdot (-1) + 0 = -n$；第三行第一列：$0 + 0 + 0 = 0$；第三行第二列：$0 + 0 + 0 = 0$；第三行第三列：$1 + 0 + 0 = 1$。因此 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & -n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & -n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：A^n = \begin{pmatrix} 1 & -n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & -n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：注意组合数 $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$，不要写成 $\frac{n(n+1)}{2}$。
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