北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，令 $B=A^{T} A$ ，则（
（A）$B$ 一定既相似又合同于一个对角矩阵；
（B）$B$ 一定相似但不合同于一个对角矩阵；
（C）$B$ 一定合同但不相似于一个对角矩阵：
（D）$B$ 一定不相似也不合同于一个对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵B的性质
已知 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，令 $B = A^T A$。首先计算 $B$ 的转置：$B^T = (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A = B$，因此 $B$ 是实对称矩阵。
公式：B^T = B
提示：注意转置运算的顺序：$(AB)^T = B^T A^T$。
步骤 2/6
目标：回忆实对称矩阵的对角化性质
实对称矩阵的一个重要性质是：它可以被正交对角化。即存在正交矩阵 $Q$（满足 $Q^T Q = I$）使得 $Q^T B Q = \Lambda$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，对角线元素为 $B$ 的特征值。
公式：Q^T B Q = \Lambda, \quad Q^T Q = I
提示：正交矩阵满足 $Q^{-1} = Q^T$，因此正交对角化既是相似变换又是合同变换。
步骤 3/6
目标：判断相似性
相似变换要求 $P^{-1} B P$ 为对角矩阵。由于正交矩阵 $Q$ 满足 $Q^{-1} = Q^T$，所以 $Q^T B Q = Q^{-1} B Q$，因此 $B$ 相似于对角矩阵 $\Lambda$。
公式：Q^{-1} B Q = \Lambda
提示：注意：只有正交矩阵才同时满足 $Q^{-1} = Q^T$，一般的可逆矩阵不满足。
步骤 4/6
目标：判断合同性
合同变换要求 $C^T B C$ 为对角矩阵，其中 $C$ 可逆。这里 $Q$ 可逆（因为正交），且 $Q^T B Q = \Lambda$，所以 $B$ 合同于对角矩阵 $\Lambda$。
公式：Q^T B Q = \Lambda
提示：合同变换不要求 $C$ 是正交矩阵，但这里 $Q$ 正交，所以自然满足。
步骤 5/6
目标：综合结论
由于 $B$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T B Q = \Lambda$，该变换既是相似变换又是合同变换，因此 $B$ 既相似又合同于对角矩阵。选项（A）正确。
提示：注意：实对称矩阵一定可对角化，但并非所有实矩阵都满足。
步骤 6/6
目标：排除其他选项
选项（B）说相似但不合同，错误；选项（C）说合同但不相似，错误；选项（D）说既不相似也不合同，错误。只有（A）正确。
提示：注意区分相似和合同的定义。
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