北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
2．已知 $n$（自然数 $n \geq 1$ ）阶方阵 $J$ 的所有元素都是 $-1, A=\left(a_{i j}\right)$ 中除了 $\left(a_{m}\right.$ 外，所有元素 $a_{i j}=0$ 。如果 $J$ 和 $A$ 相似，则 $a_{m}=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并设定变量
设 $J$ 为所有元素均为 $-1$ 的 $n$ 阶方阵，$A$ 为只有 $(m,m)$ 位置非零（设为 $a_{mm}=c$）其余元素均为 $0$ 的 $n$ 阶对角矩阵。由于 $J$ 与 $A$ 相似，它们有相同的特征值。
提示：注意 $A$ 是对角矩阵，但题目中 $A$ 除了 $a_{mm}$ 外所有元素为0，因此 $A$ 实际上是对角矩阵。
步骤 2/5
目标：求矩阵J的特征值
$J$ 可写为 $J = -\mathbf{1}\mathbf{1}^T$，其中 $\mathbf{1}$ 为全1列向量。$J$ 的秩为1，故有 $n-1$ 个特征值为0。另一个特征值为迹 $\operatorname{tr}(J) = -n$。所以 $J$ 的特征值为 $\lambda_1 = -n$（单重），$\lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$（$n-1$ 重）。
公式：$J = -\mathbf{1}\mathbf{1}^T$，$\operatorname{tr}(J) = -n$
提示：秩为1的矩阵非零特征值等于迹，因为迹等于所有特征值之和。
步骤 3/5
目标：求矩阵A的特征值
$A$ 是对角矩阵，对角元为 $c,0,\dots,0$（$c$ 在第 $m$ 个位置），因此特征值为 $c$（单重）和 $0$（$n-1$ 重）。
提示：对角矩阵的特征值即对角元。
步骤 4/5
目标：利用相似矩阵特征值相等建立方程
由于 $J$ 与 $A$ 相似，它们有相同的特征值（包括重数）。比较特征值集合：$J$ 有特征值 $-n$（单重）和 $0$（$n-1$ 重），$A$ 有特征值 $c$（单重）和 $0$（$n-1$ 重）。因此 $c$ 必须等于 $-n$。
提示：注意特征值的重数也必须相同。
步骤 5/5
目标：得出结论
所以 $a_{mm} = c = -n$。
提示：最终答案是一个数值，不要忘记负号。
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