北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
3．一个 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素由 $a_{i j}=\max (i, j)$ 给定，则 $D=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出行列式的具体形式
根据定义 $a_{ij} = \max(i, j)$，写出 $n$ 阶行列式 $D$ 的矩阵形式：
$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 2 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 3 & 3 & 3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \cdots & n \end{vmatrix} $$
提示：注意矩阵元素规律：对角线及以下元素等于行号，以上元素等于列号。
步骤 2/5
目标：行变换简化行列式
从第 $n$ 行开始，依次减去上一行：$r_i \leftarrow r_i - r_{i-1}$，其中 $i = n, n-1, \ldots, 2$。变换后得到：
$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \end{vmatrix} $$
公式：行变换不改变行列式的值
提示：注意变换顺序：从最后一行开始，否则会破坏已变换的行。
步骤 3/5
目标：按最后一列展开
观察变换后的行列式，最后一列只有第一行元素为 $n$，其余为 $0$。按第 $n$ 列展开：
$$ D = n \cdot (-1)^{1+n} \cdot M_{1n} $$，其中 $M_{1n}$ 是去掉第1行和第 $n$ 列后的 $(n-1)$ 阶子式。
公式：行列式按列展开公式：$D = \sum_{i=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$
提示：注意符号 $(-1)^{1+n}$ 不要写错。
步骤 4/5
目标：计算余子式
去掉第1行和第 $n$ 列后，得到 $(n-1)$ 阶矩阵：
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$
这是一个下三角矩阵，对角线元素均为 $1$，所以其行列式为 $1$，即 $M_{1n} = 1$。
公式：下三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积
提示：注意矩阵的阶数是 $n-1$，且所有对角线元素为1。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
代入展开式：$D = n \cdot (-1)^{1+n} \cdot 1 = (-1)^{n+1} n$。
提示：注意 $(-1)^{1+n} = (-1)^{n+1}$，结果可写为 $(-1)^{n+1}n$。
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