北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $\alpha$ 为3 维列向量，$\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，如果 $\alpha \alpha^{T}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\alpha^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设向量并写出外积形式
设 $\alpha = (x, y, z)^T$，则 $\alpha \alpha^T = \begin{pmatrix} x^2 & xy & xz \\ xy & y^2 & yz \\ xz & yz & z^2 \end{pmatrix}$。
公式：$\alpha \alpha^T = \begin{pmatrix} x^2 & xy & xz \\ xy & y^2 & yz \\ xz & yz & z^2 \end{pmatrix}$
提示：注意外积的结果是一个对称矩阵，且秩为1。
步骤 2/5
目标：比较矩阵元素建立方程
已知 $\alpha \alpha^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$，比较对应元素得：
$x^2 = 1$，$xy = -2$，$xz = 1$，$y^2 = 4$，$yz = -2$，$z^2 = 1$。
提示：注意矩阵的对称性，只需比较上三角或下三角即可。
步骤 3/5
目标：求解向量分量
由 $x^2 = 1$ 得 $x = \pm 1$。取 $x = 1$，代入 $xy = -2$ 得 $y = -2$；代入 $xz = 1$ 得 $z = 1$。验证 $y^2 = 4$，$yz = -2$，$z^2 = 1$ 均成立。若取 $x = -1$，则 $y = 2$，$z = -1$，同样满足。因此 $\alpha = (1, -2, 1)^T$ 或 $(-1, 2, -1)^T$。
提示：注意符号选择不影响内积结果，因为内积是平方和。
步骤 4/5
目标：计算内积
$\alpha^T \alpha = x^2 + y^2 + z^2 = 1 + 4 + 1 = 6$。
公式：$\alpha^T \alpha = \|\alpha\|^2 = x^2 + y^2 + z^2$
提示：内积是一个数，等于各分量平方和。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此 $\alpha^T \alpha = 6$。
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