北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $R$ 为实数域，集合 $T=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}u & v & u \\ v & x+y & x \\ u & x & u\end{array}\right) \right\rvert\, u, v, x, y \in R\right\}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$ ，维数为 $\_\_\_\_$
－．选择题（将正确答案的选项填入括考中，本题共 25 分，每小题 5 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出矩阵的一般形式
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} u & v & u \\ v & x+y & x \\ u & x & u \end{pmatrix}$，其中 $u, v, x, y \in \mathbb{R}$。
提示：注意矩阵中元素的位置，尤其是第二行第二列是 $x+y$，第二行第三列是 $x$。
步骤 2/5
目标：将矩阵分解为独立参数的线性组合
将 $A$ 按参数 $u, v, x, y$ 分解：
\[ A = u \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + x \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
提示：注意 $x+y$ 项要拆分为 $x$ 和 $y$ 两部分，分别对应不同的基矩阵。
步骤 3/5
目标：定义候选基矩阵
令
\[ E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad E_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
则 $T = \operatorname{span}\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$。
提示：确保每个基矩阵只对应一个参数，且所有参数都能表示。
步骤 4/5
目标：验证线性无关性
设 $aE_1 + bE_2 + cE_3 + dE_4 = 0$，即
\[ \begin{pmatrix} a & b & a \\ b & c+d & c \\ a & c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
比较各元素得：$a=0$, $b=0$, $c=0$, $d=0$，故 $E_1, E_2, E_3, E_4$ 线性无关。
提示：注意矩阵相等要求每个对应位置相等，不要遗漏。
步骤 5/5
目标：确定基和维数
由于 $\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$ 线性无关且生成 $T$，故它们构成 $T$ 的一组基，维数为 $4$。
提示：维数等于基中向量的个数，这里是4。
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