北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方作。 符 $|A|=2,|B|=3$ ，则分块知阵 $\left(\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right)$ 的伴随知降为
（A）$(-1)^{\prime \prime}\left(\begin{array}{cc}0 & 3 B^{*} \\ 2 . A^{*} & 0\end{array}\right)$
（B）$(-1)^{n}\left(\begin{array}{cc}0 & 2 B^{*} \\ 3 A^{*} & 0\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{cc}0 & 2 B^{*} \\ 3 A^{*} & 0\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{cc}0 & 3 B^{*} \\ 2 A^{*} & 0\end{array}\right)$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设出分块矩阵并计算行列式
设 $M = \begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix}$，则 $M$ 为 $2n$ 阶方阵。由分块矩阵行列式公式，$|M| = (-1)^{n^2} |A||B| = (-1)^{n^2} \cdot 2 \cdot 3 = 6(-1)^{n^2}$。由于 $n^2$ 与 $n$ 奇偶性相同，$(-1)^{n^2} = (-1)^n$，故 $|M| = 6(-1)^n$。
公式：$\begin{vmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{n^2} |A||B|$
提示：注意 $n^2$ 与 $n$ 的奇偶性相同，因此 $(-1)^{n^2}=(-1)^n$。
步骤 2/6
目标：设出伴随矩阵的分块形式
设 $M^* = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，其中 $X,Y,Z,W$ 均为 $n$ 阶方阵。由伴随矩阵的定义，$M M^* = |M| I_{2n}$。
公式：$M M^* = |M| I_{2n}$
提示：伴随矩阵满足 $M M^* = |M| I$，注意 $M^*$ 表示伴随矩阵。
步骤 3/6
目标：进行分块乘法得到方程组
计算 $M M^*$：
$$\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A Z & A W \\ B X & B Y \end{pmatrix} = 6(-1)^n \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}.$$
因此得到四个矩阵方程：
$$A Z = 6(-1)^n I_n, \quad A W = 0, \quad B X = 0, \quad B Y = 6(-1)^n I_n.$$
提示：分块乘法时注意块矩阵的乘法顺序。
步骤 4/6
目标：利用可逆性求解分块矩阵
由于 $|A|=2 \neq 0$，$A$ 可逆，从 $A W = 0$ 左乘 $A^{-1}$ 得 $W=0$；同理 $B$ 可逆，从 $B X = 0$ 得 $X=0$。再由 $A Z = 6(-1)^n I_n$ 得 $Z = 6(-1)^n A^{-1}$；由 $B Y = 6(-1)^n I_n$ 得 $Y = 6(-1)^n B^{-1}$。
提示：注意 $A$ 和 $B$ 可逆，因为行列式非零。
步骤 5/6
目标：用伴随矩阵表示逆矩阵
由 $A^* = |A| A^{-1} = 2 A^{-1}$，得 $A^{-1} = \frac{1}{2} A^*$；由 $B^* = |B| B^{-1} = 3 B^{-1}$，得 $B^{-1} = \frac{1}{3} B^*$。代入 $Z$ 和 $Y$ 的表达式：
$$Z = 6(-1)^n \cdot \frac{1}{2} A^* = 3(-1)^n A^*, \quad Y = 6(-1)^n \cdot \frac{1}{3} B^* = 2(-1)^n B^*.$$
公式：$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$
提示：注意伴随矩阵与逆矩阵的关系，不要混淆系数。
步骤 6/6
目标：写出伴随矩阵并对比选项
因此 $M^* = \begin{pmatrix} 0 & 2(-1)^n B^* \\ 3(-1)^n A^* & 0 \end{pmatrix} = (-1)^n \begin{pmatrix} 0 & 2 B^* \\ 3 A^* & 0 \end{pmatrix}$。对照选项，该结果与选项 (B) 一致。
提示：注意 $(-1)^n$ 因子可以提取到矩阵外面。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。