北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
2．没A．$P$ 约为3阶知阼，II $P^{\prime} A P^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，菇 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), \underline{Q}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+u_{2}, u_{3}\right)$则 $\underline{Q}^{-1} A \underline{Q}=(\quad)$
（A）$\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 是一个可逆矩阵，且 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。这意味着矩阵 $A$ 在基 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 下的矩阵是对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,1,2)$。
公式：P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
提示：注意 $P$ 的列向量是基向量，$P^{-1}AP$ 是 $A$ 在该基下的矩阵。
步骤 2/6
目标：表示新矩阵 $Q$
设 $Q = (\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_3)$。我们需要找到 $Q$ 与 $P$ 的关系。由于 $P$ 的列是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，而 $Q$ 的列是 $\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_3$，因此 $Q = P \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。记 $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $Q = PC$。
公式：Q = PC, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：注意 $Q$ 的列向量是 $P$ 列向量的线性组合，系数矩阵 $C$ 的列是组合系数。
步骤 3/6
目标：推导 $Q^{-1}AQ$ 的表达式
由 $Q = PC$ 可得 $Q^{-1} = C^{-1}P^{-1}$，因此 $Q^{-1}AQ = C^{-1}P^{-1}APC = C^{-1}(P^{-1}AP)C$。
公式：Q^{-1}AQ = C^{-1}(P^{-1}AP)C
提示：注意矩阵乘法的顺序：$Q^{-1}AQ = (PC)^{-1}A(PC) = C^{-1}P^{-1}APC$。
步骤 4/6
目标：计算 $C^{-1}$
矩阵 $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是初等矩阵，其逆矩阵为 $C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：初等矩阵的逆对应相反的初等变换。
步骤 5/6
目标：代入计算 $Q^{-1}AQ$
将 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 和 $C^{-1}$ 代入：
$$Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
先计算前两个矩阵的乘积：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
再乘以 $C$：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
公式：Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
提示：矩阵乘法注意顺序，先乘左边两个，再乘右边。
步骤 6/6
目标：得出结果并选择答案
计算得到 $Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，与选项 (C) 一致。
提示：注意检查矩阵乘法结果是否正确。
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