北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
3．设向量组 I：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 可由向量组 II：$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 线性表示，则 $($
（A）当 $r<s$ 时，向量组 II 必线性相关；
（B）当 $r>s$ 时，向量组 II 必线性相关；
（C）当 $r<s$ 时，向量组 I 必线性相关；
（D）当 $r>s$ 时，向量组 I 必线性相关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意和已知条件
已知向量组 I: $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 可由向量组 II: $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 线性表示。这意味着每个 $\alpha_i$ 都可以写成 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 的线性组合。
提示：注意“线性表示”的含义：存在系数使得 $\alpha_i = \sum_{j=1}^s k_{ij} \beta_j$。
步骤 2/7
目标：应用秩的性质
若向量组 I 可由向量组 II 线性表示，则向量组 I 的秩不超过向量组 II 的秩，即 $\operatorname{rank}(I) \leq \operatorname{rank}(II)$。同时，向量组 II 的秩不超过其向量个数 $s$，即 $\operatorname{rank}(II) \leq s$。向量组 I 的秩不超过 $r$，即 $\operatorname{rank}(I) \leq r$。
公式：$\operatorname{rank}(I) \leq \operatorname{rank}(II) \leq s$
提示：秩是向量组极大线性无关组中向量的个数，是重要工具。
步骤 3/7
目标：分析选项 (A)
选项 (A): 当 $r < s$ 时，向量组 II 必线性相关。反例：取 $s=2$，$\beta_1, \beta_2$ 线性无关，$r=1$，$\alpha_1 = \beta_1$，则 I 可由 II 表示，但 II 线性无关。故 (A) 错误。
提示：线性相关与无关的判断需要具体例子，不能仅凭个数大小。
步骤 4/7
目标：分析选项 (B)
选项 (B): 当 $r > s$ 时，向量组 II 必线性相关。反例：取 $s=1$，$\beta_1$ 线性无关（非零向量），$r=2$，$\alpha_1 = \beta_1$，$\alpha_2 = \beta_1$，则 I 可由 II 表示，但 II 线性无关。故 (B) 错误。
提示：注意 (B) 的结论是关于 II 的，而条件 $r>s$ 不能直接推出 II 相关。
步骤 5/7
目标：分析选项 (C)
选项 (C): 当 $r < s$ 时，向量组 I 必线性相关。反例：取 $s=2$，$\beta_1, \beta_2$ 线性无关，$r=1$，$\alpha_1 = \beta_1$，则 I 线性无关。故 (C) 错误。
提示：I 的线性相关性取决于 I 内部向量之间的关系，与 $r$ 和 $s$ 的大小无直接必然联系。
步骤 6/7
目标：分析选项 (D)
选项 (D): 当 $r > s$ 时，向量组 I 必线性相关。证明：由 $\operatorname{rank}(I) \leq \operatorname{rank}(II) \leq s < r$，得 $\operatorname{rank}(I) < r$，即 I 的秩小于向量个数，故 I 线性相关。因此 (D) 正确。
公式：$\operatorname{rank}(I) \leq s < r \Rightarrow \operatorname{rank}(I) < r$
提示：注意秩小于个数是线性相关的充要条件。
步骤 7/7
目标：得出结论
综合以上分析，只有选项 (D) 正确。
提示：本题考察线性表示与秩的关系，以及线性相关性的判定。
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