北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
1．求 $a, b$ 的值；
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并设出因式分解形式
已知多项式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ 能被 $x^2+1$ 整除，即 $x^2+1$ 是 $f(x)$ 的一个因式。由于 $f(x)$ 是三次多项式，除以二次多项式后，商应是一次多项式，设为 $x+c$，因此可设 $f(x)=(x^2+1)(x+c)$。
提示：注意商是一次多项式，且首项系数为1，因为 $f(x)$ 的首项系数为1。
步骤 2/5
目标：展开乘积并合并同类项
将 $(x^2+1)(x+c)$ 展开：
$$(x^2+1)(x+c)=x^2\cdot x + x^2\cdot c + 1\cdot x + 1\cdot c = x^3 + c x^2 + x + c.$$
提示：展开时注意逐项相乘，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：比较系数建立方程组
将展开式 $x^3 + c x^2 + x + c$ 与原多项式 $x^3+ax^2+bx+1$ 比较对应项系数：
- $x^3$ 系数：$1=1$，自动成立；
- $x^2$ 系数：$a = c$；
- $x$ 系数：$b = 1$；
- 常数项：$c = 1$。
提示：比较系数时，注意常数项对应常数项，不要混淆。
步骤 4/5
目标：解方程组求出参数
由 $c=1$ 和 $a=c$ 得 $a=1$；由 $b=1$ 得 $b=1$。因此 $a=1$，$b=1$。
提示：注意代入顺序，确保每个方程都满足。
步骤 5/5
目标：验证结果
将 $a=1$，$b=1$ 代入原多项式得 $f(x)=x^3+x^2+x+1$。因式分解：$x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)$，确实能被 $x^2+1$ 整除。
提示：验证是确保解答正确的重要步骤，避免计算错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。