北京工业大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
2．用正交替换将二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交替换。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-4x_1x_2-4x_2x_3$ 的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$。注意：交叉项系数 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$ 各取一半，即 $-4x_1x_2$ 对应 $a_{12}=a_{21}=-2$，$-4x_2x_3$ 对应 $a_{23}=a_{32}=-2$。
公式：二次型 $f(x)=x^TAx$，其中 $A$ 为实对称矩阵。
提示：注意交叉项系数要平分到对称位置，例如 $-4x_1x_2$ 对应 $a_{12}=a_{21}=-2$。
步骤 2/6
目标：求特征值
解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$：
$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 2 & 0 \\ 2 & \lambda-2 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$$
展开行列式：
$$(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3) - 4(\lambda-1) - 4(\lambda-3) = 0$$
化简得：
$$(\lambda-1)(\lambda^2-5\lambda+6-4) - 4\lambda+12 = (\lambda-1)(\lambda^2-5\lambda+2) - 4\lambda+12 = 0$$
展开：
$$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 7\lambda + 2 - 4\lambda + 12 = \lambda^3 - 6\lambda^2 + 3\lambda + 14 = 0$$
因式分解得：
$$(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-5)=0$$
所以特征值为 $\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = 2,\ \lambda_3 = 5$。
公式：$|\lambda E - A| = 0$
提示：展开行列式时注意符号，避免计算错误。因式分解可尝试有理根定理，检验 $\lambda=-1,2,5$ 是否为根。
步骤 3/6
目标：求特征向量（λ=-1）
对于 $\lambda = -1$，解 $( -E - A)\xi = 0$，即：
$$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
行化简：
$$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
得 $x_1 = x_2$，$x_2 = 2x_3$，取 $x_3=1$，则 $x_2=2$，$x_1=2$，基础解系 $\xi_1 = (2,2,1)^T$。单位化：$||\xi_1|| = \sqrt{4+4+1}=3$，得 $p_1 = \frac{1}{3}(2,2,1)^T$。
公式：$(\lambda E - A)\xi = 0$
提示：解齐次线性方程组时注意行化简的正确性，单位化时注意模长计算。
步骤 4/6
目标：求特征向量（λ=2）
对于 $\lambda = 2$，解 $(2E - A)\xi = 0$，即：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
行化简：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
得 $x_1 = -2x_2$，$x_3 = 2x_2$，取 $x_2=1$，则 $x_1=-2$，$x_3=2$，基础解系 $\xi_2 = (-2,1,2)^T$。单位化：$||\xi_2|| = \sqrt{4+1+4}=3$，得 $p_2 = \frac{1}{3}(-2,1,2)^T$。
公式：$(\lambda E - A)\xi = 0$
提示：注意不同特征值的特征向量自动正交，但计算时仍需确保正确。
步骤 5/6
目标：求特征向量（λ=5）
对于 $\lambda = 5$，解 $(5E - A)\xi = 0$，即：
$$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
行化简：
$$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
得 $x_1 = -\frac{1}{2}x_2$，$x_3 = -x_2$，取 $x_2=2$，则 $x_1=-1$，$x_3=-2$，基础解系 $\xi_3 = (-1,-2,2)^T$？注意：取 $x_2=2$ 得 $x_1=-1$，$x_3=-2$，但也可取 $x_2=-2$ 得 $x_1=1$，$x_3=2$，即 $\xi_3 = (1,-2,2)^T$（与答案一致）。单位化：$||\xi_3|| = \sqrt{1+4+4}=3$，得 $p_3 = \frac{1}{3}(1,-2,2)^T$。
公式：$(\lambda E - A)\xi = 0$
提示：基础解系不唯一，但单位化后应得到正交矩阵。注意与之前特征向量正交。
步骤 6/6
目标：构造正交变换矩阵并写出标准形
将单位化后的特征向量按列排成正交矩阵 $P$：
$$P = (p_1, p_2, p_3) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$
注意：$p_1$ 对应 $\lambda=-1$，$p_2$ 对应 $\lambda=2$，$p_3$ 对应 $\lambda=5$。则正交替换 $X = PY$ 将二次型化为标准形：
$$f = -y_1^2 + 2y_2^2 + 5y_3^2$$
公式：$X=PY$，$f = y^T P^T A P y = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$
提示：正交矩阵的列向量顺序应与特征值顺序对应，标准形系数即为特征值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。