北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
1．如果实方阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察矩阵结构
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的所有元素均为1，且秩为1。
提示：注意矩阵的对称性和每行每列相同。
步骤 2/6
目标：计算A的平方
计算 $A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。矩阵乘法：每个元素是行与列对应元素乘积之和，例如第一行第一列：$1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1=3$，故 $A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = 3A$。
公式：矩阵乘法公式 $(AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik}b_{kj}$
提示：注意矩阵乘法时，每个元素是行与列的点积，不要混淆顺序。
步骤 3/6
目标：归纳假设
假设对于正整数 $k$，有 $A^k = 3^{k-1} A$ 成立。当 $k=1$ 时，$A^1 = 3^{0}A = A$，成立。
提示：归纳假设要验证基础情况。
步骤 4/6
目标：归纳递推
计算 $A^{k+1} = A^k \cdot A = (3^{k-1}A) \cdot A = 3^{k-1} (A \cdot A) = 3^{k-1} \cdot 3A = 3^k A$。因此，若 $A^k = 3^{k-1}A$，则 $A^{k+1} = 3^k A$。
公式：矩阵乘法的结合律和标量乘法：$(cA)B = c(AB)$
提示：注意标量乘法的处理，不要遗漏系数。
步骤 5/6
目标：数学归纳法结论
由数学归纳法，对任意正整数 $n$，有 $A^n = 3^{n-1} A$。
提示：归纳法证明要明确基础步骤和归纳步骤。
步骤 6/6
目标：写出最终表达式
因此，$A^n = 3^{n-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：最终结果要写成矩阵形式，不要忘记系数。
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