北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
2．已知三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^{3}=1$ 的三个不同根，则 $|A+E|=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定矩阵A的特征值
由题意，三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^3=1$ 的三个不同根。解方程 $x^3=1$ 得 $x=1, \omega, \omega^2$，其中 $\omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，满足 $\omega^3=1$ 且 $1+\omega+\omega^2=0$。
公式：$x^3=1$ 的根：$1, \omega, \omega^2$
提示：注意 $\omega$ 是复数，但后续计算中利用性质 $1+\omega+\omega^2=0$ 可简化。
步骤 2/5
目标：推导A+E的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $A+E$ 的特征值为 $\lambda+1$。因此 $A+E$ 的特征值为 $1+1=2$，$\omega+1$，$\omega^2+1$。
公式：若 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$，则 $(A+E)\mathbf{v}=(\lambda+1)\mathbf{v}$
提示：注意单位矩阵 $E$ 的特征值全为1，所以 $A+E$ 的特征值就是 $A$ 的特征值加1。
步骤 3/5
目标：利用行列式与特征值的关系
矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。因此 $|A+E| = 2 \cdot (\omega+1) \cdot (\omega^2+1)$。
公式：$|B| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $B$ 的特征值
提示：注意特征值可能重复，但这里三个特征值互异，直接相乘即可。
步骤 4/5
目标：计算乘积 (ω+1)(ω^2+1)
展开 $(\omega+1)(\omega^2+1) = \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1$。由于 $\omega^3=1$，代入得 $1 + \omega^2 + \omega + 1 = 2 + (\omega+\omega^2)$。由 $1+\omega+\omega^2=0$ 得 $\omega+\omega^2 = -1$，所以原式 $= 2 - 1 = 1$。
公式：$(\omega+1)(\omega^2+1) = \omega^3+\omega^2+\omega+1$
提示：利用 $\omega^3=1$ 和 $1+\omega+\omega^2=0$ 简化，注意不要忘记 $\omega^3$ 项。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此 $|A+E| = 2 \times 1 = 2$。
提示：最终结果是一个实数，与 $\omega$ 的取值无关。
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