北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
3．二次型 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 2 \\ -1 & 2 a & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 的秩 $=2$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别二次型矩阵必须对称
二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 的矩阵 $A$ 必须是对称矩阵。题目给出的矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 2 \\ -1 & 2a & 0 \end{pmatrix}$ 不是对称的，因此需要将其对称化，即取 $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$。
公式：B = \frac{1}{2}(A + A^T)
提示：注意：二次型矩阵必须是对称的，否则无法唯一确定二次型。
步骤 2/5
目标：计算对称矩阵B
计算 $A^T = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 2 & 2 & 2a \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$，则 $A + A^T = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & 2+2a \\ 0 & 2+2a & 0 \end{pmatrix}$，除以2得 $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1+a \\ 0 & 1+a & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵加法时对应元素相加，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：利用秩为2的条件
二次型的秩等于其对称矩阵的秩。已知秩为2，则 $B$ 的行列式为0（因为3阶矩阵秩小于3时行列式为0）。计算 $\det(B) = 1 \cdot (2 \cdot 0 - (1+a)^2) - (-1) \cdot ((-1) \cdot 0 - 0 \cdot (1+a)) + 0 \cdot ((-1) \cdot (1+a) - 2 \cdot 0) = -(1+a)^2 = 0$。
公式：\det(B) = 0
提示：计算行列式时注意符号，尤其是代数余子式的符号。
步骤 4/5
目标：解方程求a
由 $-(1+a)^2 = 0$ 得 $1+a = 0$，解得 $a = -1$。
提示：注意平方等于0意味着内部为0，不要遗漏负号。
步骤 5/5
目标：验证秩为2
当 $a = -1$ 时，$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，显然第一行与第二行不成比例，且第三行为零行，因此秩为2，符合条件。
提示：验证时检查矩阵是否确实秩为2，避免增根。
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