北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), T=\{B \mid A B=B A\}$ ，其中 $B$ 为 3 阶实方阵，$T$ 关于矩阵加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设未知矩阵并计算AB和BA
设 $B=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}$，计算 $AB$ 和 $BA$：
$AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11}-x_{21} & x_{12}-x_{22} & x_{13}-x_{23} \\ x_{21}-x_{31} & x_{22}-x_{32} & x_{23}-x_{33} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}$
$BA = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11} & -x_{11}+x_{12} & -x_{12}+x_{13} \\ x_{21} & -x_{21}+x_{22} & -x_{22}+x_{23} \\ x_{31} & -x_{31}+x_{32} & -x_{32}+x_{33} \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法顺序，AB和BA不同，计算时逐元素进行。
步骤 2/5
目标：由AB=BA得到方程
由 $AB=BA$ 得对应元素相等，列出方程：
(1,1): $x_{11}-x_{21}=x_{11} \Rightarrow x_{21}=0$
(1,2): $x_{12}-x_{22}=-x_{11}+x_{12} \Rightarrow x_{22}=x_{11}$
(1,3): $x_{13}-x_{23}=-x_{12}+x_{13} \Rightarrow x_{23}=x_{12}$
(2,1): $x_{21}-x_{31}=x_{21} \Rightarrow x_{31}=0$ (因 $x_{21}=0$)
(2,2): $x_{22}-x_{32}=-x_{21}+x_{22} \Rightarrow x_{32}=x_{21}=0$
(2,3): $x_{23}-x_{33}=-x_{22}+x_{23} \Rightarrow x_{33}=x_{22}=x_{11}$
(3,1): $x_{31}=x_{31}$ 恒成立
(3,2): $x_{32}=-x_{31}+x_{32} \Rightarrow x_{31}=0$ (已得)
(3,3): $x_{33}=-x_{32}+x_{33} \Rightarrow x_{32}=0$ (已得)
提示：注意利用已得结果简化后续方程，例如由(1,1)得x21=0后代入(2,1)等。
步骤 3/5
目标：整理得到B的一般形式
整理方程得：$x_{21}=0$, $x_{31}=0$, $x_{32}=0$, $x_{22}=x_{11}$, $x_{23}=x_{12}$, $x_{33}=x_{11}$。
因此 $B$ 的形式为：
$$B = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ 0 & x_{11} & x_{12} \\ 0 & 0 & x_{11} \end{pmatrix}$$
其中 $x_{11}, x_{12}, x_{13}$ 为自由参数。
提示：注意B是上三角矩阵且主对角线元素相等，次对角线也相等。
步骤 4/5
目标：确定线性空间T的维数
自由参数有3个：$x_{11}, x_{12}, x_{13}$，因此 $T$ 的维数为3。
提示：维数等于自由参数的个数。
步骤 5/5
目标：构造一组基
取 $x_{11}=1, x_{12}=0, x_{13}=0$ 得 $E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$；
取 $x_{11}=0, x_{12}=1, x_{13}=0$ 得 $E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$；
取 $x_{11}=0, x_{12}=0, x_{13}=1$ 得 $E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
则 $\{E_1, E_2, E_3\}$ 是 $T$ 的一组基。
提示：基的选取不唯一，但通常取每个自由参数为1其余为0的简单形式。
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