北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $D_{n}=\left|a_{i j}\right|$ 是 $n$ 阶行列式，其中 $a_{i i}=2, a_{i, i+1}=a_{i+1, i}=-1, i=1,2, \cdots, n-1$ ，则 $D_{n}=$ $\_\_\_\_$ （写出具体表达式）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出行列式的具体形式
根据题目条件，行列式 $D_n$ 是一个三对角行列式，主对角线元素全为2，次对角线元素全为-1，其余元素为0。即：
$$D_n = \begin{vmatrix}
2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{vmatrix}.$$
提示：注意行列式的结构：只有三条对角线非零，其余元素为0。
步骤 2/6
目标：按第一行展开建立递推关系
按第一行展开行列式 $D_n$。第一行元素为 $2, -1, 0, \dots, 0$。展开得：
$$D_n = 2 \cdot D_{n-1} + (-1) \cdot (-1) \cdot D_{n-2} = 2D_{n-1} - D_{n-2},$$
其中 $D_{n-1}$ 是去掉第一行第一列后的 $n-1$ 阶子式，$D_{n-2}$ 是去掉第一行第二列后的 $n-2$ 阶子式（注意符号）。
公式：按第一行展开：$D_n = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + \cdots$
提示：展开时注意余子式的符号和子式的结构，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：计算初始条件
计算 $n=1$ 和 $n=2$ 时的行列式值：
$$D_1 = |2| = 2,$$
$$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 - (-1) \times (-1) = 4 - 1 = 3.$$
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：计算二阶行列式时注意符号。
步骤 4/6
目标：求解递推关系
递推关系 $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ 是二阶线性齐次递推。特征方程为 $r^2 - 2r + 1 = 0$，解得 $r=1$（二重根）。因此通解形式为 $D_n = (A + Bn) \cdot 1^n = A + Bn$。
公式：特征方程：$r^2 - 2r + 1 = 0$，重根 $r=1$，通解 $D_n = A + Bn$
提示：注意特征根为重根时，通解形式为 $(A+Bn)r^n$。
步骤 5/6
目标：代入初始条件确定系数
代入 $n=1$ 和 $n=2$：
$$\begin{cases}
A + B = 2 \\
A + 2B = 3
\end{cases}$$
解得 $A=1$，$B=1$。因此 $D_n = 1 + n$。
提示：解方程组时注意系数。
步骤 6/6
目标：得出最终表达式
所以 $n$ 阶行列式 $D_n$ 的值为 $n+1$。即
$$D_n = n+1.$$
提示：最终结果简洁，注意验证 $n=1,2$ 时成立。
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