北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，
$Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($
（A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并建立矩阵关系
已知 $P^T A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，且 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，$Q = (\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_3)$。我们需要求 $Q^T A Q$。由于 $Q$ 的列向量可由 $P$ 的列向量线性表示，因此存在过渡矩阵 $C$ 使得 $Q = P C$。
公式：Q = P C
提示：注意 $Q$ 的列向量顺序与 $P$ 的关系，不要写错过渡矩阵。
步骤 2/5
目标：确定过渡矩阵 C
由 $Q = (\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_3)$，而 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，所以 $\alpha_1 = P \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\alpha_1+\alpha_2 = P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\alpha_3 = P \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。因此 $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：注意 $C$ 的每一列是 $Q$ 的列向量在 $P$ 基下的坐标，不要混淆行和列。
步骤 3/5
目标：将 Q^T A Q 用 P^T A P 表示
由于 $Q = P C$，则 $Q^T A Q = (P C)^T A (P C) = C^T (P^T A P) C$。令 $D = P^T A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，则 $Q^T A Q = C^T D C$。
公式：Q^T A Q = C^T D C
提示：注意转置顺序：$(P C)^T = C^T P^T$。
步骤 4/5
目标：计算 C^T D
先计算 $C^T D$。$C^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。相乘得：$C^T D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：C^T D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
提示：矩阵乘法注意对应位置，先计算第一行乘第一列等。
步骤 5/5
目标：计算 (C^T D) C 得到最终结果
将上一步结果乘以 $C$：$(C^T D) C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。因此 $Q^T A Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，对应选项 (A)。
公式：Q^T A Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
提示：最后一步矩阵乘法要仔细，尤其是 (2,2) 位置：1*1+1*1=2。
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