北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（
（A）$(-1)^{r} 3^{r}$
（B） $3^{r}$
（C）$(-1)^{r} 2^{r}$
（D） $2^{r}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由条件推导特征值
已知 $A^2 = 2A$，移项得 $A^2 - 2A = 0$，即 $A(A-2E)=0$。设 $λ$ 是 $A$ 的特征值，则存在非零向量 $x$ 使得 $Ax = λ x$。代入得 $A^2x = A(λ x) = λ^2 x$，同时 $2Ax = 2λ x$，故 $λ^2 x = 2λ x$，即 $λ(λ-2)=0$，所以 $λ=0$ 或 $λ=2$。
公式：$A^2 = 2A \Rightarrow \lambda(\lambda-2)=0$
提示：注意特征值满足的方程来自矩阵多项式，不要遗漏零特征值。
步骤 2/6
目标：确定特征值的代数重数
矩阵 $A$ 的秩为 $r$，即 $\operatorname{rank}(A)=r$。由于特征值 $2$ 对应的特征向量线性无关，且 $A$ 可对角化（见下一步），特征值 $2$ 的几何重数等于代数重数。因为秩为 $r$，所以特征值 $2$ 的代数重数至少为 $r$，而特征值 $0$ 的代数重数为 $n-r$。实际上，由于 $A$ 可对角化，特征值 $2$ 的代数重数恰好为 $r$。
公式：$\operatorname{rank}(A)=r \Rightarrow$ 特征值 $2$ 的重数为 $r$，$0$ 的重数为 $n-r$
提示：秩等于非零特征值的个数（计入重数），但需注意可对角化条件。
步骤 3/6
目标：判断矩阵可对角化
矩阵 $A$ 满足多项式 $f(x)=x^2-2x=x(x-2)$，该多项式无重根。由于最小多项式整除 $f(x)$，且 $f(x)$ 无重根，故最小多项式无重根，从而 $A$ 可对角化。
公式：最小多项式无重根 $\Rightarrow$ 矩阵可对角化
提示：不要直接认为 $A$ 可对角化，需通过最小多项式或特征多项式判断。
步骤 4/6
目标：写出对角化形式
存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵，右下角是 $n-r$ 阶零矩阵。
公式：$P^{-1}AP = \operatorname{diag}(2,\dots,2,0,\dots,0)$
提示：注意对角矩阵中 $2$ 的个数为 $r$，$0$ 的个数为 $n-r$。
步骤 5/6
目标：计算 $A+E$ 的行列式
由 $A+E = P \begin{pmatrix} 2E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} + E = P \left( \begin{pmatrix} 2E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + E \right) P^{-1} = P \begin{pmatrix} 3E_r & 0 \\ 0 & E_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1}$。两边取行列式，得 $|A+E| = \left| \begin{pmatrix} 3E_r & 0 \\ 0 & E_{n-r} \end{pmatrix} \right| = 3^r \cdot 1^{n-r} = 3^r$。
公式：$|A+E| = 3^r$
提示：注意 $E$ 是单位矩阵，对角化后 $A+E$ 的对角元为 $2+1=3$ 和 $0+1=1$。
步骤 6/6
目标：选择正确选项
计算得 $|A+E| = 3^r$，对应选项 (B)。
提示：注意选项中有 $(-1)^r$ 的干扰，不要误选。
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