北京工业大学 2014年高等代数第0题

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^*$ 为其伴随矩阵。已知 $\operatorname{rank}(A^*)=1$，且 $n=3$。根据伴随矩阵的秩的性质： - 若 $\operatorname{rank}(A)=n$，则 $\operatorname{rank}(A^*)=n$； - 若 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，则 $\operatorname{rank}(A^*)=1$； - 若 $\operatorname{rank}(A)\leq n-2$，则 $\operatorname{rank}(A^*)=0$。 因此，由 $\operatorname{rank}(A^*)=1$ 可得 $\operatorname{rank}(A)=2$。

计算 $A=\begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{pmatrix}$ 的行列式： $$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix}$$ 将第2、3行加到第1行： $$\begin{vmatrix} a+2b & a+2b & a+2b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix} = (a+2b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix}$$ 第2、3列减去第1列： $$(a+2b) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b & a-b & 0 \\ b & 0 & a-b \end{vmatrix} = (a+2b)(a-b)^2$$ 所以 $\det(A) = (a+2b)(a-b)^2$。

因为 $\operatorname{rank}(A)=2$，所以 $A$ 不是满秩，故 $\det(A)=0$。即 $(a+2b)(a-b)^2=0$。

若 $a=b$，则 $A$ 的所有元素相等，此时 $\operatorname{rank}(A)=1$（当 $a=b\neq0$）或 $0$（当 $a=b=0$）。但我们需要 $\operatorname{rank}(A)=2$，所以 $a=b$ 不满足条件。

若 $a+2b=0$ 且 $a\neq b$，则 $\det(A)=0$。由于 $a\neq b$，$A$ 中存在2阶子式非零（例如左上角 $\begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} = a^2-b^2 \neq 0$），所以 $\operatorname{rank}(A)=2$，从而 $\operatorname{rank}(A^*)=1$，满足条件。

若 $a\neq b$ 且 $a+2b\neq0$，则 $\det(A)\neq0$，$\operatorname{rank}(A)=3$，从而 $\operatorname{rank}(A^*)=3$，不满足条件。

综合以上分析，满足条件的 $a,b$ 关系为 $a+2b=0$ 且 $a\neq b$。选项（D）$a+2b=0$ 正确。