北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
4．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，而 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关，则下面论断正确的是
（A）$\alpha_{1}$ 能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表出
（B）$\alpha_{1}$ 不能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表出
（C）$\alpha_{1}$ 能被 $\alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性表出
（D）$\alpha_{4}$ 不能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，而 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关。
提示：注意线性无关的部分组也线性无关，即 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。
步骤 2/5
目标：由 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关推出 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表出
由 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关，存在不全为零的系数 $k_2, k_3, k_4$ 使得 $k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha_4 = 0$。若 $k_4 = 0$，则 $k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$ 且 $k_2, k_3$ 不全为零，这与 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性无关矛盾。故 $k_4 \neq 0$，从而 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表出：$\alpha_4 = -\frac{k_2}{k_4}\alpha_2 - \frac{k_3}{k_4}\alpha_3$。因此选项（D）错误。
公式：$k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha_4 = 0$
提示：注意反证法：假设 $k_4=0$ 会导致矛盾，从而 $k_4 \neq 0$。
步骤 3/5
目标：判断 $\alpha_1$ 能否被 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表出
假设 $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表出，即存在 $l_2, l_3, l_4$ 使得 $\alpha_1 = l_2\alpha_2 + l_3\alpha_3 + l_4\alpha_4$。将上一步 $\alpha_4$ 的表达式代入，得 $\alpha_1 = l_2\alpha_2 + l_3\alpha_3 + l_4(-\frac{k_2}{k_4}\alpha_2 - \frac{k_3}{k_4}\alpha_3) = (l_2 - l_4\frac{k_2}{k_4})\alpha_2 + (l_3 - l_4\frac{k_3}{k_4})\alpha_3$，即 $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表出。这与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关矛盾。因此 $\alpha_1$ 不能被 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表出，选项（B）正确，选项（A）错误。
公式：$\alpha_1 = l_2\alpha_2 + l_3\alpha_3 + l_4\alpha_4$
提示：注意代入后合并系数，利用线性无关性推出矛盾。
步骤 4/5
目标：判断 $\alpha_1$ 能否被 $\alpha_2, \alpha_4$ 线性表出
考虑选项（C）：$\alpha_1$ 能否被 $\alpha_2, \alpha_4$ 线性表出？构造反例：取 $\alpha_1 = (1,0,0), \alpha_2 = (0,1,0), \alpha_3 = (0,0,1), \alpha_4 = (0,1,1)$。则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关（因为 $\alpha_4 = \alpha_2 + \alpha_3$）。但 $\alpha_1$ 不能由 $\alpha_2, \alpha_4$ 线性表出，因为 $\alpha_1$ 的第一个分量为1，而 $\alpha_2, \alpha_4$ 的第一个分量均为0。故（C）错误。
提示：构造反例时，注意选取简单的向量，并验证条件。
步骤 5/5
目标：总结正确选项
由以上分析，选项（B）正确，其他选项均错误。因此答案为（B）。
提示：注意区分线性表出与线性相关的关系。
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