北京工业大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $V, U$ 是 $n$ 维，$m$ 维向量空间 $(m \neq n), \varphi: V \rightarrow U$ 的线性映射，则（
（A） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=n$
（B） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=m$
（C） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=|m-n|$
（D） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=m+n$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解线性映射的维数公式
对于线性映射 $\varphi: V \rightarrow U$，其中 $V$ 和 $U$ 是向量空间，存在一个重要的维数公式：$\dim \ker \varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi = \dim V$。这个公式也称为秩-零化度定理。
公式：\dim \ker \varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi = \dim V
提示：注意公式中的 $\dim V$ 是定义域 $V$ 的维数，而不是陪域 $U$ 的维数。
步骤 2/5
目标：确定题目中定义域的维数
题目中给出 $V$ 是 $n$ 维向量空间，即 $\dim V = n$。
提示：注意区分 $V$ 和 $U$ 的维数，$V$ 是 $n$ 维，$U$ 是 $m$ 维。
步骤 3/5
目标：应用维数公式到本题
将 $\dim V = n$ 代入维数公式，得到 $\dim \ker \varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi = n$。
公式：\dim \ker \varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi = n
提示：这里 $\operatorname{Im} \varphi$ 是 $U$ 的子空间，但它的维数不一定等于 $m$。
步骤 4/5
目标：分析选项
选项 (A) 为 $\dim \ker \varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi = n$，与推导结果一致。选项 (B) 为 $=m$，选项 (C) 为 $=|m-n|$，选项 (D) 为 $=m+n$，均不正确。
提示：注意 $m \neq n$，但公式结果与 $m$ 无关。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，正确选项是 (A)。
提示：不要混淆定义域和陪域的维数。
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