北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则
$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解代数余子式之和的性质
代数余子式之和 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$ 等于将矩阵 $A$ 的第一行元素全部替换为 $1$ 后所得矩阵的行列式，即
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 3 & -1 & 2 \\
1 & 1 & 5 & 5
\end{vmatrix}
\]
公式：行列式按第一行展开的逆用：$\sum_{j=1}^n A_{ij} = \det(B)$，其中 $B$ 是将 $A$ 的第 $i$ 行全换为1的矩阵
提示：注意代数余子式带符号，但这里直接求和，所以用替换法
步骤 2/5
目标：化简行列式：消去第一列下方元素
将第一行乘以 $-1$ 加到第二行，得
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
2 & 3 & -1 & 2 \\
1 & 1 & 5 & 5
\end{vmatrix}
\]
公式：行变换：$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$
提示：行变换不改变行列式的值
步骤 3/5
目标：按第二行展开行列式
第二行元素为 $0,0,2,0$，只有第3列非零，代数余子式符号为 $(-1)^{2+3}=-1$，所以
\[
\det = 2 \times (-1) \times M_{23} = -2 \times \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 5
\end{vmatrix}
\]
公式：行列式按行展开：$\det = \sum_{j} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$
提示：注意符号：$(-1)^{2+3} = -1$，不要漏掉负号
步骤 4/5
目标：计算三阶行列式
计算三阶行列式：
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 5
\end{vmatrix}
= 1\cdot(3\cdot5-2\cdot1) -1\cdot(2\cdot5-2\cdot1) +1\cdot(2\cdot1-3\cdot1)
= (15-2) - (10-2) + (2-3) = 13 - 8 - 1 = 4
\]
公式：三阶行列式对角线法则：$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$
提示：注意符号：第二项是减号，第三项是加号
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此原行列式为 $-2 \times 4 = -8$，所以 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14} = -8$。
提示：检查计算过程，确保没有算术错误
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