北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
2．若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，且 $R(A)=n-1$ ，则齐次线性方程组 $A x=0$的一个基础解系是 $\_\_\_\_$ （2） $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，提取条件
已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，即对每一行 $i$，有 $\sum_{j=1}^n a_{ij}=0$。同时 $R(A)=n-1$。要求齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系。
提示：注意“各行元素之和为零”是矩阵的一个整体性质，不是单个元素的性质。
步骤 2/5
目标：将各行和为零转化为向量形式
各行元素之和为零等价于 $A$ 乘以全1向量等于零向量：设 $\mathbf{1}=(1,1,\ldots,1)^T$，则 $A\mathbf{1}=\mathbf{0}$。因为 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $\mathbf{1}$ 就是第 $i$ 行元素之和。
公式：$A\mathbf{1}=\mathbf{0}$
提示：注意向量是列向量，转置符号不要漏。
步骤 3/5
目标：确定解的存在性和维数
由 $A\mathbf{1}=\mathbf{0}$ 知 $\mathbf{1}$ 是齐次方程组的一个非零解。又因为 $R(A)=n-1$，所以解空间维数为 $n-R(A)=1$。因此基础解系只包含一个线性无关的解向量。
公式：$\dim\ker A = n - R(A)$
提示：解空间维数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 4/5
目标：得出基础解系
由于解空间维数为1，任何非零解都可作为基础解系。已知 $\mathbf{1}$ 是非零解，所以 $\mathbf{1}$ 本身就是一个基础解系。
提示：基础解系不唯一，但这里只需给出一个。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
因此，齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系是 $\mathbf{1}=(1,1,\ldots,1)^T$。
提示：答案应写为列向量形式，注意括号和转置。
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