北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $R$ 为实数域，集合 $V=\left\{A \in R^{n \times n} \mid A^{T}=A\right\}$ 关于矩阵的加法和数乘构成一个实线性空间，则 $\operatorname{dim} V=$ $\_\_\_\_$ （3） $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解线性空间的定义
题目中 $V = \{ A \in R^{n \times n} \mid A^T = A \}$ 是所有 $n \times n$ 实对称矩阵的集合。需要验证它关于矩阵加法和数乘构成线性空间，但题目已说明，因此直接求维数。
提示：注意线性空间需要满足八条公理，但本题已给出，无需验证。
步骤 2/4
目标：确定对称矩阵的自由度
对称矩阵 $A$ 满足 $A_{ij} = A_{ji}$，因此独立元素的个数等于主对角线元素个数加上上三角（或下三角）非对角线元素个数。主对角线有 $n$ 个元素，上三角有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素。
提示：注意不要重复计算：对称矩阵中 $A_{ij}$ 和 $A_{ji}$ 是同一个元素。
步骤 3/4
目标：计算独立元素总数
独立元素总数为 $n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2n + n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$。
公式：n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}
提示：化简时注意合并同类项。
步骤 4/4
目标：得出维数结论
线性空间的维数等于基中向量的个数，而一组基可以由标准基矩阵构成，每个独立元素对应一个基矩阵。因此 $\dim V = \frac{n(n+1)}{2}$。
提示：维数就是独立参数的个数。
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