北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
4．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{4}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确特征值之积与行列式的关系
对于任意方阵，其特征值之积等于矩阵的行列式。因此，题目所求的 $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4$ 即为矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$。
公式：$\prod_{i=1}^n \lambda_i = \det(A)$
提示：注意特征值可能重复，但乘积仍等于行列式。
步骤 2/6
目标：写出矩阵A并准备计算行列式
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。直接计算4阶行列式较复杂，先进行行变换简化。
提示：注意矩阵元素对称，可考虑利用行变换。
步骤 3/6
目标：进行行变换：将第2、3、4行分别减去第1行
执行行变换：$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$, $R_3 \leftarrow R_3 - R_1$, $R_4 \leftarrow R_4 - R_1$。得到新矩阵：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$
行列式值不变。
公式：行变换不改变行列式的值（但注意行交换会改变符号，此处未交换）。
提示：行变换时，若某行乘以常数再加到另一行，行列式不变；但若交换两行，行列式变号。此处是减法，相当于加负一倍，故不变。
步骤 4/6
目标：按第一列展开行列式
新矩阵第一列只有第一个元素为1，其余为0，因此按第一列展开：
$$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$
即化为计算3阶行列式。
公式：按列展开公式：$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$
提示：注意符号：$(-1)^{1+1}=1$，所以直接取子式。
步骤 5/6
目标：计算3阶行列式
计算 $D = \begin{vmatrix} 0 & -2 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{vmatrix}$。
方法一：直接按第一行展开：
$$D = 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -2 & -2 \end{vmatrix}$$
$$= 0 + 2 \cdot [(-2)\cdot 0 - (-2)\cdot (-2)] - 2 \cdot [(-2)\cdot (-2) - 0\cdot (-2)]$$
$$= 2 \cdot (0 - 4) - 2 \cdot (4 - 0) = 2 \cdot (-4) - 2 \cdot 4 = -8 - 8 = -16$$
公式：三阶行列式展开公式
提示：注意符号：展开时 $(-1)^{1+2} = -1$，所以第二项系数为 $-(-2)=2$，第三项 $(-1)^{1+3}=1$，系数为 $(-2)$。计算子式时注意乘法顺序。
步骤 6/6
目标：得出行列式值并写出最终答案
因此 $\det(A) = -16$，即特征值之积为 $-16$。
提示：最终答案应填入空格，注意负号。
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