北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
5．已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1+\lambda \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ （5） $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出增广矩阵
将线性方程组写成增广矩阵形式：
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
-1 & -1 & 3 & 1+\lambda \\
-2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & \lambda & \lambda
\end{array}\right)
\]
提示：注意常数项也要包含在矩阵中，增广矩阵的最后一列是常数项。
步骤 2/5
目标：交换行简化计算
交换第1行和第3行，使第一行第一个元素为1，便于消元：
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & \lambda & \lambda \\
-2 & 1 & 2 & 1 \\
-1 & -1 & 3 & 1+\lambda
\end{array}\right)
\]
提示：交换行时注意对应常数项也要交换。
步骤 3/5
目标：初等行变换消去第一列
第2行加上第1行的2倍，第3行加上第1行的1倍：
\[
\begin{aligned}
R_2 &\leftarrow R_2 + 2R_1: \\
&\begin{pmatrix} -2+2\cdot1 & 1+2\cdot1 & 2+2\lambda & 1+2\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 2+2\lambda & 1+2\lambda \end{pmatrix} \\
R_3 &\leftarrow R_3 + R_1: \\
&\begin{pmatrix} -1+1 & -1+1 & 3+\lambda & 1+\lambda+\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3+\lambda & 1+2\lambda \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
得到矩阵：
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & \lambda & \lambda \\
0 & 3 & 2+2\lambda & 1+2\lambda \\
0 & 0 & 3+\lambda & 1+2\lambda
\end{array}\right)
\]
提示：注意第3行消元后常数项为1+λ+λ=1+2λ，不要漏加。
步骤 4/5
目标：分析无解条件
方程组无解当且仅当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩。观察最后一行，系数部分为 \(0,0,3+\lambda\)，常数部分为 \(1+2\lambda\)。
若 \(3+\lambda = 0\)，即 \(\lambda = -3\)，则最后一行变为 \(0 = 1+2(-3) = -5\)，矛盾，方程组无解。
若 \(3+\lambda \neq 0\)，则方程组有唯一解。
提示：注意：只有当系数全为零而常数非零时，才出现矛盾导致无解。
步骤 5/5
目标：得出λ的值
因此，使得方程组无解的 \(\lambda\) 值为 \(\lambda = -3\)。
提示：验证：将λ=-3代入原方程组，检查是否确实无解。
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