北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
1．$A$ 是 $n$ 阶可＂逆矩阵，$A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵。则 $\left(A^{*}\right)^{*}=($ （6）
（A）$|A|^{n-1} A$
（B）$|A|^{n+1} A$
（C）$|A|^{n-2} A$
（D）$|A|^{n+2} A$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用可逆矩阵的伴随矩阵公式
对于可逆矩阵 $A$，有 $A^* = |A| A^{-1}$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：注意该公式仅适用于可逆矩阵。
步骤 2/6
目标：将 $(A^*)^*$ 表示为 $|A| A^{-1}$ 的伴随
代入 $A^*$ 的表达式：$(A^*)^* = (|A| A^{-1})^*$。
提示：注意 $|A|$ 是标量，$A^{-1}$ 是矩阵。
步骤 3/6
目标：应用数乘矩阵的伴随公式
对于数乘矩阵 $kA$，有 $(kA)^* = k^{n-1} A^*$，其中 $k$ 是常数。因此 $(|A| A^{-1})^* = |A|^{n-1} (A^{-1})^*$。
公式：$(kA)^* = k^{n-1} A^*$
提示：注意指数是 $n-1$，不是 $n$。
步骤 4/6
目标：计算 $(A^{-1})^*$
由于 $A^{-1}$ 也是可逆矩阵，有 $(A^{-1})^* = |A^{-1}| (A^{-1})^{-1} = |A|^{-1} A$。
公式：$(A^{-1})^* = |A^{-1}| A$
提示：注意 $|A^{-1}| = |A|^{-1}$，且 $(A^{-1})^{-1} = A$。
步骤 5/6
目标：合并结果
代入得 $(A^*)^* = |A|^{n-1} \cdot |A|^{-1} A = |A|^{n-2} A$。
提示：合并指数时注意 $|A|^{n-1} \cdot |A|^{-1} = |A|^{n-2}$。
步骤 6/6
目标：选择正确答案
因此 $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$，对应选项 (C)。
提示：注意选项中的指数是 $n-2$，不是 $n-1$ 或 $n+1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。