北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
2．设向量组 I：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，可由向量组 II：$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 线性表示，则下列结论正确的是（
（A）当 $s<t$ 时，向量组 I 必线性无关；
（B）当 $s<t$ 时，向量组 I 必线性相关；
（C）当 I 线性无关时，必有 $s<t$ ；
（D）当 II 线性无关时，必有 $s<t$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与基本定理
已知向量组 I: $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_t$ 可由向量组 II: $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_s$ 线性表示。根据线性代数中的定理：若一个向量组可由另一个向量组线性表示，且表示组的向量个数小于被表示组的向量个数，则被表示组必线性相关。即若 $s < t$，则向量组 I 线性相关。
提示：注意定理的条件：表示组向量个数小于被表示组，且被表示组可由表示组线性表示。
步骤 2/6
目标：分析选项（A）
选项（A）说：当 $s < t$ 时，向量组 I 必线性无关。这与上述定理矛盾。构造反例：取 $\beta_1 = (1,0), \beta_2 = (0,1)$，$\alpha_1 = (1,0), \alpha_2 = (2,0), \alpha_3 = (0,1)$。则 $s=2 < t=3$，但 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性相关（因为 $\alpha_2 = 2\alpha_1$），故（A）错误。
提示：反例构造时，注意向量组 I 中可以有部分向量线性相关，但整体可能线性相关。
步骤 3/6
目标：分析选项（B）
选项（B）说：当 $s < t$ 时，向量组 I 必线性相关。这正是上述定理的直接结论，因此（B）正确。
提示：直接应用定理即可，无需构造反例。
步骤 4/6
目标：分析选项（C）
选项（C）说：当 I 线性无关时，必有 $s < t$。构造反例：取 $\beta_1 = (1,0), \beta_2 = (0,1)$，$\alpha_1 = (1,0), \alpha_2 = (0,1)$。则 I 线性无关，但 $s=2, t=2$，不满足 $s < t$，故（C）错误。
提示：注意线性无关时，表示组的向量个数可以大于或等于被表示组的个数，但定理只给出相关性的充分条件。
步骤 5/6
目标：分析选项（D）
选项（D）说：当 II 线性无关时，必有 $s < t$。构造反例：同样取 $\beta_1 = (1,0), \beta_2 = (0,1)$，$\alpha_1 = (1,0), \alpha_2 = (0,1)$。则 II 线性无关，但 $s=2, t=2$，不满足 $s < t$，故（D）错误。
提示：注意 II 线性无关并不能推出 I 的向量个数与 II 的向量个数之间的大小关系。
步骤 6/6
目标：总结并得出答案
综合以上分析，只有选项（B）正确。因此正确答案为 B。
提示：在选择题中，排除法结合定理是常用策略。
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