北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
3．当 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A A^{T}=E,|A|<0$ ，则 $|A+E|=$
（A） 0
（B） 1
（C）-1
（D）$|A|$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别矩阵类型
由条件 $AA^T = E$ 可知，$A$ 是正交矩阵。正交矩阵满足 $A^T = A^{-1}$。
公式：$AA^T = E$
提示：注意正交矩阵的定义：$AA^T = E$ 或 $A^T A = E$。
步骤 2/7
目标：确定行列式值
对 $AA^T = E$ 两边取行列式，得 $|A||A^T| = |E| = 1$。由于 $|A^T| = |A|$，所以 $|A|^2 = 1$，即 $|A| = \pm 1$。又已知 $|A| < 0$，故 $|A| = -1$。
公式：$|A||A^T| = |E|$
提示：注意 $|A^T| = |A|$，且 $|A|$ 为实数，平方等于1。
步骤 3/7
目标：构造 $|A+E|$ 的表达式
利用 $AA^T = E$，将 $E$ 替换为 $AA^T$，得 $|A+E| = |A + AA^T|$。
公式：$E = AA^T$
提示：注意替换后矩阵乘法顺序：$A + AA^T$。
步骤 4/7
目标：提取公因子
提取左边的公因子 $A$：$|A + AA^T| = |A(E + A^T)|$。
公式：$A + AA^T = A(E + A^T)$
提示：注意提取公因子时，$A$ 在左边，因为 $AA^T$ 是 $A$ 右乘 $A^T$。
步骤 5/7
目标：利用行列式乘法性质
由行列式乘法性质，$|A(E + A^T)| = |A| \cdot |E + A^T|$。
公式：$|AB| = |A||B|$
提示：注意行列式乘法性质适用于方阵。
步骤 6/7
目标：转置行列式不变
由于 $|E + A^T| = |(E + A)^T| = |E + A|$，所以 $|A+E| = |A| \cdot |E+A|$。
公式：$|B^T| = |B|$
提示：注意转置不改变行列式的值。
步骤 7/7
目标：建立方程求解
由 $|A+E| = |A| \cdot |A+E|$ 得 $(1 - |A|)|A+E| = 0$。代入 $|A| = -1$，得 $1 - (-1) = 2 \neq 0$，所以 $|A+E| = 0$。
公式：$(1 - |A|)|A+E| = 0$
提示：注意移项时不要丢失因子，且 $|A|$ 为已知常数。
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