北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A, B$ 为两个正定矩阵，则下列不正确的是（
（9）
（A）$A+B$ 正定
（B）$A B$ 正定；
（C）必存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $A=Q^{T} Q$ ；
（D）$A, B$ 的特征值为正实数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项（A）
对于任意非零向量 $\mathbf{x}$，有 $\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{x}^T B \mathbf{x}$。由于 $A$ 和 $B$ 正定，$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$，$\mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$，故 $\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x} > 0$，且 $A+B$ 对称，所以 $A+B$ 正定。选项（A）正确。
公式：\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{x}^T B \mathbf{x}
提示：注意正定矩阵必须是对称矩阵，但这里 $A+B$ 显然对称。
步骤 2/5
目标：分析选项（B）
两个正定矩阵的乘积不一定正定，因为 $AB$ 不一定对称。例如，取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则 $A$ 和 $B$ 均为正定，但 $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ 不对称，故不正定。因此选项（B）不正确。
提示：正定矩阵的乘积不一定对称，因此不一定正定。
步骤 3/5
目标：分析选项（C）
正定矩阵 $A$ 可进行 Cholesky 分解，即存在可逆下三角矩阵 $L$ 使得 $A = L L^T$，令 $Q = L^T$，则 $A = Q^T Q$，且 $Q$ 可逆。因此选项（C）正确。
公式：A = Q^T Q
提示：Cholesky 分解要求矩阵正定，且 $Q$ 可逆。
步骤 4/5
目标：分析选项（D）
正定矩阵的特征值均为正实数，这是正定矩阵的基本性质。因为若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应特征向量 $\mathbf{x}$，则 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^T \mathbf{x} > 0$，故 $\lambda > 0$。因此选项（D）正确。
公式：\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^T \mathbf{x}
提示：注意特征值全为正实数，但反之不一定成立（对称且特征值全正才正定）。
步骤 5/5
目标：确定不正确的选项
根据以上分析，选项（A）、（C）、（D）均正确，只有选项（B）不正确。因此不正确的是（B）。
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