北京工业大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
5．下列说法正确的是 （10） －
（A）数域 $P$ 上两线性空间同构的充要条件是它们的维数相等；
（B）设矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=E$ ，则 1 与 -1 一定是 $A$ 的特征值；
（C）正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵；
（D）任意对称矩阵的特征值都是实数。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项（A）
数域 $P$ 上两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。这是线性代数中的基本定理，因为维数是线性空间在同构意义下的完全不变量。因此选项（A）正确。
公式：\dim V = \dim W \iff V \cong W
提示：注意定理适用于有限维空间，无限维情形需要额外条件。
步骤 2/5
目标：分析选项（B）
设矩阵 $A$ 满足 $A^2 = E$，则 $A$ 的特征值只能是 $1$ 或 $-1$，但未必两者都出现。例如，取 $A = E$（单位矩阵），则 $A^2 = E$，但 $A$ 的特征值全为 $1$，没有 $-1$。因此选项（B）错误。
公式：A^2 = E \Rightarrow \lambda^2 = 1 \Rightarrow \lambda = \pm 1
提示：注意特征值必须满足方程，但未必所有可能的根都实际出现。
步骤 3/5
目标：分析选项（C）
正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，但在一般基下不一定。例如，在非标准正交基下，正交变换的矩阵可能不是正交矩阵。因此选项（C）错误。
公式：\text{正交变换} \xrightarrow{\text{标准正交基}} \text{正交矩阵}
提示：正交矩阵的定义依赖于基的正交性。
步骤 4/5
目标：分析选项（D）
实对称矩阵的特征值都是实数，但题目未指明矩阵是实对称矩阵。若在复数域上考虑，对称矩阵（即 $A^T = A$）的特征值不一定为实数。例如，取 $A = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$，则 $A^T = A$，但特征值为 $i$，不是实数。因此选项（D）错误。
公式：A^T = A \text{ 在实数域上} \Rightarrow \text{特征值为实数}
提示：注意对称矩阵与实对称矩阵的区别。
步骤 5/5
目标：总结正确选项
经过分析，只有选项（A）正确。因此正确答案为（A）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。