北京工业大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
一．把复数域上的矩阵
$$
J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}
\end{array}\right)
$$
称为 $n$ 阶循环矩阵．
（1）证明 $\displaystyle V=\left\{J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right) \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\right\}$ 是线性空间，并求其维数和一组基；
（2）求 $\displaystyle J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)$ 的特征值及行列式 $\displaystyle \left|J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明V是线性空间
令 $J = J(a_0, a_1, \dots, a_{n-1})$。循环矩阵由第一行完全确定，因此 $V$ 与 $\mathbb{C}^n$ 之间存在一一对应：$(a_0, a_1, \dots, a_{n-1}) \mapsto J(a_0, a_1, \dots, a_{n-1})$。加法与数乘定义为对应位置元素的加法与数乘，容易验证 $V$ 对矩阵的加法与数乘封闭，且满足线性空间的八条公理，故 $V$ 是 $\mathbb{C}$ 上的线性空间。
提示：注意验证封闭性和八条公理，但不必逐一列出，只需说明显然成立。
步骤 2/5
目标：求V的维数和一组基
维数：$V$ 中每个矩阵由 $n$ 个复数唯一确定，且这些复数可以独立选取，故 $\dim V = n$。一组基：取 $e_k$ 为第 $k$ 个分量为1其余为0的向量（$k=0,1,\dots,n-1$），对应的循环矩阵记为 $J_k = J(e_k)$，即 $J_k$ 的第一行第 $k$ 个元素为1，其余为0。则 $\{J_0, J_1, \dots, J_{n-1}\}$ 线性无关且张成 $V$，故为 $V$ 的一组基。
提示：基的选取不唯一，但通常取第一行只有一个1的矩阵。
步骤 3/5
目标：构造特征向量并计算特征值
令 $\omega = e^{2\pi i / n}$ 为 $n$ 次本原单位根。考虑循环矩阵 $J$ 与向量 $v_j = (1, \omega^j, \omega^{2j}, \dots, \omega^{(n-1)j})^T$ 的乘积，其中 $j=0,1,\dots,n-1$。计算 $J v_j$ 的第 $k$ 个分量（$k=0,1,\dots,n-1$）：$$(J v_j)_k = \sum_{l=0}^{n-1} a_{(l-k) \bmod n} \, \omega^{lj} = \omega^{kj} \sum_{l=0}^{n-1} a_l \omega^{-lj} = \lambda_j \omega^{kj},$$ 其中 $\lambda_j = \sum_{l=0}^{n-1} a_l \omega^{-lj}$。因此 $J v_j = \lambda_j v_j$，即 $v_j$ 是 $J$ 的特征向量，对应的特征值为 $\lambda_j$。
公式：$\lambda_j = \sum_{l=0}^{n-1} a_l \omega^{-lj}$
提示：注意下标循环：$a_{(l-k) \bmod n}$ 表示循环移位。
步骤 4/5
目标：证明特征向量线性无关
由于 $v_0, v_1, \dots, v_{n-1}$ 构成范德蒙德矩阵，其行列式非零，故线性无关。因此 $J$ 的全体特征值为 $\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}$。
提示：范德蒙德矩阵的行列式不为0当且仅当 $\omega^j$ 互不相同。
步骤 5/5
目标：计算行列式
行列式为特征值之积：$$\det J = \prod_{j=0}^{n-1} \lambda_j = \prod_{j=0}^{n-1} \sum_{l=0}^{n-1} a_l \omega^{-lj}.$$ 注意 $\omega^{-lj} = \omega^{(n-l)j}$，因此上式也可写为 $$\det J = \prod_{j=0}^{n-1} \sum_{l=0}^{n-1} a_l \omega^{lj}.$$
公式：$\det J = \prod_{j=0}^{n-1} \sum_{l=0}^{n-1} a_l \omega^{-lj}$
提示：注意特征值乘积的顺序不影响结果。
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